Annales des Mines (1887, série 8, volume 11)
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SUR L'EXTENSION DES PLAQUES ÉLASTIQUES.
MÉMOIRE
Sa dérivée seconde par rapport à a, peut se développer en série par rapport aux variables
Soit F une fonction telle que d' F
(n2-1-4)---jc sm(w (p) +
Pe cos m
...
de
flt
d2F
239
p).
On en déduit, en la sommant D'aPrès la formule (12)
dF
717,
if A dd2c.:: dc
yd
fXdu
=c +
x log
dl+
Écrivons, comme plus haut
inlf 2ur d? 3 .do, o
E (Àm cosmco
1) gni cos m (w
Or,
112"
f
yda
2
Ft' E AmqM --cos nt? -I- B,
Rm 711 cp)
= pm. La série E qui figure dans le second
membre de cette équation représente donc la densité au point P. Celle-ci est donc égale à
2f
,c7iTy,
Le second membre est connu. Le premier a pour valeur : REE (Arne cos mg) + 13.,,,pm sin m(?).
R2m,
d2F
c-i72 da df,
X
am,
13,,,am, sin nuo)x E(m
La sommation donne
ff
_
if à(71-12:2 d.dp, fx da
0
Y-
y log r.
arc tg yx
7-5
L'intégrale double s'écrit encore
y arc tg
X dcr
dF
dF)
Yds cw3
Plaque annulaire. Soit (fig. 14) R le rayon moyen de l'anneau, e sa largeur, c'est7à-dire la différence de:rayons extrêmes. Soit M un point de la plaque, P un point situé dans le vide central. Nous supposerons que les forces d'application ne s'exercent que sur la paroi extérieure ABCD, et que la paroi intérieure A1131C1D2 est libre.
La densité en M s'exprime comme ci-dessus par une série de la forme E (Arne cos m w
sin m, w).
E est la valeur de à rapportée au point P. L'expression de cette fonction à est donc à
(rx
tS RE \,}
da
dc;
r
d,. d17
)
En réalité, l'intégrale n'est établie que pour un point situé à l'extérieur du corps ; mais comme elle ne subit pas de discontinuité en traversant le contour A,B,C,D elle sera encore vraie si l'on suppose que le point P se déplace et pénètre à l'intérieur du corps. La formule donne donc la densité en un point du solide.