Annales des Mines (1893, série 9, volume 4)
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autour de Q, tous les points comme ireprenant des.
positions identiques. Mais l'angle 47" pouvant s'écrire 2177
cette expression montre que, par définition, Q
,
est le pôle d'un axe de symétrie d'ordre 1- résultat qui 2
ne peut s'appliquer que si q est divisible par 2, c'est-àdire un nombre pair. Si q est impair, après q-1 rotations (q-1 étant pair). ce, prend la position ot, , ce dernier point occupant pal. rapport à P, P, la même situation que ri., par rapport à
P, P et le polyèdre est entièrement restitué. Il
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DES SOULÈVEMENTS.
THÉORIES RELATIVES A LA COORDINATION
suffit:
alors, pour faire coïncider P, P, avec P, 13, et a, avec Gc.
de faire tourner le polyèdre autour de Q de l'angle au
centre' Q est donc par définition le pôle d'un arc de
Cette dernière rotation restitue le polyèdre, la première étant effectuée autour d'un axe d'ordre p. Le point 0 est donc le pôle d'un axe binaire. Par rotations successives autour de Théorème V. le polygone régulier sphérique dont les ses sommets, sommets sont les pôles d'axes d'ordre p couvre exactement la sphère. En faisant tourner le polygone tout entier autour de P,
(fig.
5) de l'angle 27', il prendra la position P P P,
P', P3; une seconde rotation analogue autour d'un autre sommet fournira une troisième position, et en continuant ainsi on devra forcément retomber sur l'une des positions précédentes, c'est-à-dire couvrir exactement la sphère; s'il en était autrement, on arriverait à un axe d'ordre p compris entre
Fig, 5.
symétrie d'ordre q. Théorème IV. Les bissectrices des angles formés
deux axes P, et P contigus, ce qui serait contraire à l'hypothèse.
par les axes .d'ordre p sont des axes binaires si q est
La dernière proposition ramène donc l'étude des polyèdres réguliers sphériques à celle des polygones réguliers sphériques qui couvrent exactement la sphère, ces polygones ayant forcément pour sommets les pôles d'axes d'ordre p et pour centre le pôle d'un axe d'ordre q.
impair.
En effet l'axe Q est, d'après le théorème précédent. d'ordre q. En faisant tourner le polyèdre autour de cet axe de l'angle il est entièrement restitué, et dans
Fig. 4.
cette rotation P, P2 (fig. 4) vient en P P3.
Aire d'un polygone régulier sphérique dont les sommets sont les pôles d'axes d'ordre p et dont le nombre
On peut arriver au même résultat par -P deux rotations successives, l'une de P,
On sait que l'aire d'un polygone sphédes côtés est q. rique est mesurée par la somme de ses angles intérieurs,
autour de P2 de l'angle -
1-C
, ce qui amène
P, P2 en P, P, et l'autre de P, P, autour de son milieu 0. d'un angle de 1800; P, revient alors en P2, et P, en P3._
diminuée d'un multiple de deux angles droits égal au nombre des côtés moins deux.
Les angles aux sommets sont ici égaux à
et le poly-