Annales des Mines (1893, série 9, volume 4)
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Or, le dodécaèdre renfermant 12 pentagones a, comme périmètre total, 30 II', chaque côté appartenant à 2 peu.
tagones adjacents, soit 30 c
,./3
561
DES SOULÈVEMENTS.
THÉORIES RELATIVES A LA COORDINATION
pleinement le choix du mode dodécaédrique. Il est nécessaire maintenant de l'étudier en détail en lui appliquant désormais le nom de réseau pentagonal, donné par Élie de Beaumont (*).
On a donc périmètre dodécaèdre = périmètre icosaèdre
= périmètre icosaèdre
0,577.
Soit un peu plus de la moitié de ce dernier (*). La rupture pentagonale satisfait donc beaucoup mieux au principe de l'effort minimum et l'avantage qu'elle présente à cet égard sur la rupture icosaédrique justifie (1 Le vrai chiffre est 0,659 et, pour faire le calcul exact, il faut connaître le périmètre d'un pentagone du dodécaèdre et d'un triangle de l'icosaèdre et évaluer le rapport de ce périmètre à la surface sphérique qu'il enveloppe. La trigonométrie fournit les nombres suivants
Côté du pentagone du dodécaèdre = 46,45592 (en grades décimaux.) Périmètre du pentagone = 23e,7960
Côté du triangle de l'icosaèdre = 70e,48358 Périmètre du triangle
_= 211c,44984
En appelant S la surface de la sphère, on a Périmètre pentagone Aire du pentagone
232c,2796
2787,3552
S
le Périmètre du triangle
Aire du triangle
211e,44984
THÉORIE DU RÉSEAU PENTAGONAL.
III.
4228,9968
573
3552 Le quotient de ces rapports est donc 0,659. On 422 8 2787,9968 peut donc en conclure que l'effort de rupture, qu'exige l'écrase659' ment pentagonal de la croûte n'est que les 4-70-F0 de celui qu'exigerait l'écrasement icosaédrique. Si l'on cherche à résoudre la même question pour une masse parallélipipédique limitée par des plans, on s'aperçoit que les seules ruptures possibles sont les ruptures hexagonales, carrées ou triangulaires. L'hexagone, le carré et le triangle sont, en effet, les seules figures qui puissent exactement couvrir le plan. En
10 Définition des cercles.
Nombre et disposition des côtés du dodécaèdre pentagonal. Le polyèdre fondamental est formé de 12 pentagones. Il possède donc 5 12 ou 60 côtés, mais chacun prenant comme longueur du côté de ces figures l'unité, on a immédiatement Périmètre de l'hexagone Aire de l'hexagone
Périmètre du carré Aire du carré
6
9,30
BVS 4 71-
Périmètre du triangle équilatéral Aire du triangle Vs 3
=4,00 _= 6,90.
4
Il en résulte que la rupture, suivant le réseau hexagonal,
s'effectuera avec la plus grande économie des efforts nécessaires
pour vaincre la cohésion et c'est, en effet, ce que l'on vérifie dans la nature, particulièrement sur les masses basaltiques que le retrait force à se diviser en prismes hexagonaux réguliers (Grotte de Fingal, Auvergne, etc.).
(') 11 importe de faire remarquer que la division pentagonale par retrait s'observe quelquefois sur les septarias (concentrations de calcaires marneux au milieu des argiles) quand ils sont exactement sphéroïdaux et sur les sphérosidérites (minerais de fer en boules du terrain houiller), comme l'École des mines en possède un exemplaire remarquable. Citons encore un autre fait expérimental : les petits pois cuits ou desséchés dans certaines con-
ditions présentent des ridements de l'écorce où le dodécaèdre pentagonal apparaît plus ou moins marqué par des méplats dont les contours pentagonaux saillants sont comparables aux chaînes de montagnes en préparation..