Annales des Mines (1897, série 9, volume 12)
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On a, en différentiant (4) par rapport à t 4n fF (x) cos nxdx ....
dt (8)
dV
dt =
0
lin2 cos nxe --"2t
2nX + sin 2nX 4 sin kn2 cos 2nX + sin 2nX nx fdOehtet 0 4 sin nX cos nx dl 2nX + sin 2/iX
En effet, dans le deuxième membre de (4), on trouve à différentier le second terme qui est une intégrale définie
303.
ACTION DES PAROIS
302 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR
En comparant les expressions (8) et (9), on voit que, si, dans (8), le premier et le quatrième terme du second membre se détruisent, c'est-à-dire si on a d_O r 4 ,
dt
E 2nX ±sinsinnX2nX
COS 11X]
=
les termes qui subsistent dans dV seront égaux respecdt d2-v
tivement aux termes dey (9) multipliés par k. Alors 2
dont une des limites, t, est variable. On sait que, étant
la condition (1) sera satisfaite.
donnée une intégrale définie
Avant d'examiner si la relation (10) est vraie, faisons la vérification de la condition. (3). Il faut pour cela poser
rf (X, t) dx
./
t = o dans l'intégrale (4). Pour t = o, on a O = o, puis-
0
à différentier par rapport à t dans le cas où a et b sont fonction de t, on a
jàf
f (b, t) Db
dx
f (a, t)
qu'on a pris comme zéro des températures la température
initiale de la source. Il vient alors 4n.f(x) cos nx dx
.Det
0
2nX + sin 21IX
a
Donc, si je pose cil e
u
hte2(t
Pour que la condition (3) soit réalisée, il faut que le second membre de (11) soit égal à F (x), état initial des températures dans le mur. Fourier a démontré (Théorie analytique de la chaleur,
dt,
(1T 0
irvient, en différentiant par rapport à t Du
dO
e
=J 1012 0
ha2 (t--"r) d, ±
pp. 513 et suivantes) que, si une fonction quelconque F (x
peut être développée en une série de cosinus d'arcs nx, les quantités n étant les racines de l'équation transcen-
dirt°
dante n tang nX = CtJ,
Prenons maintenant la dérivée seconde par rapport à x
de l'intégrale (4), on a: daV dx2
4n
fF (x) cos nxdx n2 cos nxe 0
2nX ± sin 2nX 4 sin nX n2 COS nx LJ2PX + sin 2nX
v
COS nx.
on a identiquement, pour une valeur quelconque de x comprise entre 0 et X kn't 4n F (x)
F (x) cos nx dx 0
2nX + sin 2/IX
COS ns,