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DÉNIVELLATIONS DE LA VOIE

assimilée à six roues

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placées directement au-dessus des

ressorts. Puis l'auteur prend comme base expérimentale les expériences de M. Couard :il remplace les courbes par des tracés rectilignes triangulaires simples, et il suppose les joints de rails concordants. Puis il pose les équations différentielles de d'Alembert pour les six masses, ce qui fait déjà six équations. En second lieu il obtient six autres équations en écrivant que les réactions des six ressorts sont proportionnelles aux flèches, c'est-à-dire aux déplacements verticaux des masses, tout en faisant intervenir les courbes de M. Couard simplifiées qui règlent les déplacements des bases des ressorts. Cela fait déjà 12 équations. Mais il y a 18 inconnues qui sont les 6 valeurs des déplacements verticaux, les 6 valeurs de la répartition du poids total P de la caisse en 6 parties et les 6 valeurs des réactions des ressorts. Pour établir les 6 équations qui manquent, l'auteur en trouve une en écrivant que le poids total P des 6 masses est constant ; il en trouve trois autres en écrivant que les 6 masses doivent toujours rester dans un même plan. Enfin l'auteur obtient les deux dernières équations en appliquant le théorème de d'Alembert aux moments des forces d'inertie autour de deux axes horizontaux, l'un parallèle à la voie et l'autre perpendiculaire. Puis, enfin, M. Nadal établit ses .intégrations, ce qui lui permet de calculer tous les éléments du problème considéré et notamment ce qu'il a appelé la vitesse critique. Cette vitesse ainsi calculée est naturellement la même que celle de l'oscillation du poids sur ressort qui a servi de base à mes études. Cette étude constitue un travail scientifique important, mais qui, tel qu'il est, ne peut pas servir à établir la condition de convergence des oscillations; en effet M. Nadal, pour simplifier ses intégrations, a supposé au début

ET OSCILLATIONS DU MATÉRIEL DES CHEMINS DE FER

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que ses six ressorts' n'avaient aucun' frottement, comme tout le monde le croyait à cette époque. J'ai établi depuis, au contraire, que ce frottement n'est pas négligeable et qu'il est la cause de la convergence des oscillations, à la vitesse critique et dans son voisinage ; il ne faut pas oublier, en effet, qu'en matière d'oscillations périodiques, les petites causes répétées font les grands effets. Il en résulte que l'hypothèse de M. Nadal a retenti sur sa conclusion définitive; en effet, l'auteur en a conclu que cette vitesse critique est dangereuse. Dans une étude postérieure, par contre, M. Nadal a admis que les résistances passives des ressorts peuvent éteindre les oscillations, mais il n'a pas calculé leur influence modératrice (*). Dans mes trois mémoires je montre qu'on doit établir les véhicules de telle façon qu'ils puissent marcher sans danger à cette même vitesse critique, pour les dénivellations périodiques des joints de rails. Quoiqu'il en soit, il est hors de doute que le mémoire de M. Nadal constitue une étape importante dans l'étude des oscillations du matériel. D'abord il a montré que les études de cette nature doivent être basées sur les expériences de M. Couard ou d'autres qu'on pourra faire à son exemple. Ensuite il y a lieu d'observer que lathéoriede M. Nadal s'approche de la réalité dans le cas où les dénivellations aux joints des rails sont très considérables', par suite d'un très mauvais état de la voie ; dans ce cas, le frottement des ressorts ne suffit plus, comme on l'a vu, pour éviter les oscillations divergentes; alors l'étude de M. Nadal donne une analyse des oscillations, même en dehors de la vitesse critique, analyse qui est fort intéressante. Mais, de plus, il est fort probable qu'on pourra arriver (*) Voir Théorie de la stabilité des locomotives, parM. Nadal (Annales des Ponts et Chaussées, 'S" trimestre de 1891).