Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1907, série 10, volume 12)

197

COMPENSATION D'UNE TRIANGULATION

COMPENSATION D'UNE TRIANGULATION

à celui de l'observation directe. De même pour les autres angles; on voit donc que, par un calcul très simple, on a sensiblement augmenté la précision. La méthode classique de compensation conduit à des équations linéaires ; il semble donc que la question soit épuisée et qu'il n'y ait pas lieu à de nouvelles recherches ; quoi de plus simple en apparence que des équations de premier degré ? En réalité, la résolution d'un pareil système, pour peu que le nombre des inconnues soit élevé, est un travail démesurément long et pénible devant lequel reculent les plus intrépides calculateurs. Si nous avons affaire à un réseau de dix points, ce qui n'a rien d'excessif pour une triangulation topographique, et qu'il soit complet, c'est-à-dire que chaque sommet soit directement relié à tous les autres, nous relèverons en chaque point neuf directions; pour compenser les mesures, les règles suivies jusqu'ici conduisent à un système de 64 équations à 64 inconnues. Certainement un pareil calcul est pratiquement impossible, ou si on l'entreprenait, la bonification qui en résulterait pour les mesures ne serait pas en rapport avec le temps et la peine que dépenserait le calculateur. Aussi la compensation n'est-elle guère en honneur ; très peu de topographes l'appliquent et seulement dans des cas restreints. Un autre inconvénient de la méthode classique, c'est qu'elle ne donne pas de règle pour former les équations de condition; elle laisse à l'opérateur le soin de les trouver, ce qui est un problème de géométrie extrêmement délicat; on est exposé à écrire plusieurs fois la même condition sans s'en apercevoir ; et alors les formules sont indéterminées ; si bien qu'à la fin d'un calcul démesurément long, on risque d'arriver à des résultats illusoires. Ces considérations nous ont conduit à chercher une méthode d'approximation successive, qui, sans s'écarter des règles rigoureuses du calcul des probabilités, permît

de réduire progressivement la somme des carrés des écarts, et d'obtenir pour des inconnues des valeurs aussi approchées que l'on voudra de celles qui donnent le minimum, sans se livrer à un travail trop pénible ni trop prolongé.

196

§ 2. Distinction entre les conditions aux angles et les conditions aux côtés. — Qu'est-ce que les conditions aux angles? Quand on veut calculer l'azimut d'un côté quelconque, (3-2) par exemple, en le rapportant à celui de la base (4-5), on le détermine par un cheminement : puisque nous connaissons l'angle (1 -4-5) parles mesures effectuées au sommet (4), nous pouvons déduire l'azimut de (4-1) de celui de (4-5). Nous déduisons de même l'azimut de (1-3^ de celui de (4-1) et enfin celui de (3-2) de celui de (1-3). Mais nous aurions pu suivre une autre route, par exemple le contour (4-5-2-3). Trouverons-nous le même résultat? Non. En raison des erreurs d'observation, nous ne retombons pas chaque fois sur des valeurs identiques de l'azimut cherché. La compensation des angles a pour but de corriger les mesures, de façon que le résultat du calcul soit indépendant du contour suivi. Qu'est-ce maintenant que les conditions aux côtés ? Quand nous avons exprimé que les diverses lignes de notre triangulation ont des azimuts bien déterminés, cela ne suffit pas pour que le réseau puisse être construit avec des éléments ainsi obtenus. En effet, soit AB notre base, menons en A et B deux droites ayant les azimuts calculés pour les directions AC, BC, puis par A, B et C d autres droites ayant les azimuts calculés pour les directions AD, BD et CD. Ces trois dernières lignes ne se cou-