Annales des Mines (1907, série 10, volume 12)
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COMPENSATION
l /uNE
TRIANGULATION COMPENSATION D'UNE TRIANGULATION
La première de ces trois opérations ne se fait pas par les mêmes formules que précédemment ; elles donnent lieu à des équations qui se trouvent toutes résolues ; voici comment on procède : La correction des ordonnées nous a donné de nouvelles valeurs pour les azimuts de chaque côté (p. y), T>pq . Adoptons-les provisoirement et cherchons maintenant les valeurs les plus probables des azimuts des lignes de foi Qp .. Nous les déterminons toujours par la même loi. La correction apportée à nos observations apq sera (DM — Q,/) — apq . La somme des carrés des corrections devra être minima. Nos seuls variables sont les Q. Égalons à zéro les dérivées partielles, on aura : n Q, = SD^ — ?.«<.», j (
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Seconde équation aux lignes de foi.
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On en déduira de nouvelles valeurs des azimuts des lignes de foi. Formons maintenant nos équations aux abscisses et aux ordonnées ; les coefficients sont les mêmes que précédemment ; seuls les termes indépendants, les V et les W, doivent être calculés à nouveau. Chaque fois qu'on réitérera cette triple opération, on réduira la somme des carrés. Au bout de quelques réitérations, les corrections que l'application répétée de la méthode apportera aux inconnues seront négligeables, et on arrêtera les calculs. Nous avons supposé dans nos formules que les poids de tous les angles azimutaux <xpq étaient égaux entre eux ; s'il n'en est pas ainsi, il faut, en formant la somme des carrésdes écarts, multiplier chacun de ces carrés par le poids de l'observation correspondante. Ce poids est le chiffrequi représente le nombre des observations dont la moyenne
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est la résultante. L'établissement des formules correspondant à ce cas n'offre aucune difficulté, et nous ne le développerons pas.
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§ 10. Des avantages de la méthode. — La probabilité des résultats dépend de la somme des carrés des écarts entre les lectures et les valeurs adoptées. Chaque fois qu'on réduit la somme, on augmente la précision. Par •conséquent, alors même qu'on n'exécuterait pas le calcul entier, on n'en aurait pas moins fait œuvre utile et amélioré considérablement les mesures. Rappelons l'exemple d'nn réseau complet avec dix sommets : la méthode classique nous conduit à la résolution d'un système de 64 équations à un nombre égal d'inconnues ; ce calcul, même exécuté avec l'aide des méthodes graphiques et par un opérateur exercé, est un travail de bien des journées. Dans notre méthode, nous avons affaire à trois équations à dix inconnues, équations d'une forme spéciale, dont la résolution exige peu de temps. Si nous formons d'abord nos équations aux lignes de foi, notre coefficient de con2
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vergence probable -^jj est de -- Nos formules sont donc très convergentes. Ce premier calcul très simple fera plus que doubler la précision des résultats. Quant aux équations aux abscisses et aux équations aux ordonnées, leur formation est facile. On pourrait se borner à ne les résoudre qu'une seule fois. Mais il vaut mieux réitérer les opérations, tant qu'elles apportent des corrections appréciables ■aux résultats. En tout cas, la compensation partielle ou •totale effectuée d'après notre méthode paye largement la peine du calculateur.