Annales des Mines (1909, série 10, volume 15)
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OSCILLATIONS DES BENNES NON 'GUIDÉES
de la verticale. Je représenterai à l'aide de deux fonctions inverses l'une de l'antre : l
(D
= fit),
t = F[l),
la loi arbitraire de son déroulement en fonction du temps t. Le mobile se trouvera ainsi rapporté aux coor-, données polaires /, y.. On connaît dans ce système l'expression différentielle des deux composantes de la force totale, suivant le rayo| vecteur et sa perpendiculaire. Cette dernière nous suffira ; car elle est indépendante de la tension inconnue du fil, que la première servirait au contraire à déterminer s'il était, nécessaire ; mais sa valeur nous est inutile. En prenant pour unité de masse celle du corps en mouvement, nous aurons comme composante transversale, évaluée positivement dans le sens croissant de l'azimut : dl ch 'dê
r
OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDEES
533 3. La forme transcendante (*) de cette relation la rend évidemment peu favorable aux méthodes d'intégration rigoureuse (**) ; mais une remarque fondamentale va nous apporter à cet égard une simplification décisive. Le problème actuel est évidemment plus complexe que celui du pendule proprement dit, puisque ce dernier en constitue le cas particulier le plus simple : / = C"\ Or cette question n'a pu trouver que dans l'emploi des fonctions elliptiques sa solution complète ; et malgré son élégance, celle-ci n'intervient à peu près jamais dans les applications, où l'on ne rencontre que la formule approximative dite des petites oscillations. Or il arrive précisément que les conditions des puits de mines nous restreignent inévitablement dans ces étroites limites. Les profondeurs y sont toujours notables, souvent énormes ; tandis que l'excursion horizontale du centre de gravité ne saurait, sans une grande imprudence, s'appro-
dt dt
Elle est égale en principe à la somme des projections des forces agissantes ; laquelle se réduit ici à celle du poids : — y sin
(*) On peut, à la vérité, la rendre algébrique en prenant comme fonction inconnue sin a, mais elle devient par là inextricable. (**) Tout au contraire, on peut, en toute rigueur, ramener aux quadratures dans toute sa généralité le problème inverse, qui consisterait à chercher suivant quelle loi de déroulement (1) il faudrait filer du câble au mobile pour le voir exécuter un mouvement pendulaire défini à l'avance : « = •!> (t),
De là l'équation différentielle : §h dt*
4.
9 - —
'
' dt dt
ou parcourir de lui-même une trajectoire dont on donnerait a priori l'équation : g SUl a = O,
ou d'après (1) (3)
2
f(<)f?+ ^!+
9sina=;o -
Son intégration, lorsque sera spécifiée, dans chaque cas la fonction /(O, fournira entre a et t l'équation du mouvement angulaire du pendule de longueur variable.
a = tt*(7). liais je ne veux entrer ici dans aucun développement sur ce sujet, qui serait de pure curiosité et sans rapport avec la pratique. Je me borne à transcrire sans démonstration les formules qui résolvent ces deux questions :
JW; t= B +
(t) (
- J
i>' (/)
v
m" {D
j
dt
y/ C - 2,7 f pW{l) sin [W {[)] di