Annales des Mines (1909, série 10, volume 15)
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OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDEES
Nous y pouvons suivre les principales circonstances du phénomène. 5. L'arrêt du pendule se produira au moment 0' pour lequel la vitesse «, progressivement décroissante à partir de Q, arrive à s'annuler. Posons donc à cet effet (8) : •|(0) <p'(6") — ?(8) f (8')
= o.
La valeur 0', fournie par cette relation nous fera connaître la durée : -' = o' — e, de cette demi-oscillation directe (*). L'écart extrême a d'ailleurs comme valeur (7) : 4(6) f '(6) —
?
(0)
q (0)'
A cet instant commence la demi- oscillation rétrograde, en raison du changement de signe de u>. Le pendule reprend son élan en sens contraire, avec une vitesse d'abord croissante et atteignant un maximum w 2 à une époque 6 2 que fournira l'équation dérivée de (8) :
0>)
- ?(8) f"(9*) = ».
la formule (8) faisant connaître cette valeur maxima w 2 par la substitution t= 9 2 . A partir de ce moment, l'allure s'amortit jusqu'à un nouvel arrêt. Nous limitons d'ailleurs ce que nous appelons demi-oscillation rétrograde au retour à la verticale a, = o, pour une époque 9j que l'on déduira de la formule (7) : •1 (8) (8) <Ke,) = o. (*) Il est à peine besoin d'ajouter que cette appellation commode n'implique en aucune façon que la phase en question constitue exactement lamoitié de l'oscillation complète, ainsi que cela se produit dans le cas du pendule ordinaire.
OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDÉES
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Cette relation devient une identité par l'hypothèse 0 — 0[, qui en effet a constitué notre point de départ; mais elle devra fournir en outre, pour 8j, une seconde racine, et celle-ci, une fois obtenue, nous fera connaître la durée : T , = o, _ e', de la demi-oscillation rétrograde. A cet instant, le pendule traverse la verticale avec une vitesse angulaire oq que détermine la formule (8) : M
1
_o ^(8)? ,-(8,)-9 (e )f (0.) £(0) 9' (6) — 9(6) f (0)
6. Nous nous retrouvons par conséquent (sauf la substitution do G t à 6 et de oq à Q) dans des conditions identiques à celles du premier départ, mais dansle sens opposé. Une analyse toute semblable nous fournira dès lors la durée : t' = 6" - 0,, de la nouvelle demi-oscillation directe de sens contraire terminée à un écart extrême a", pour une époque 0", que l'on évaluera au moyen deOj et aq, ainsi que *' et 0' l'ont été en fonction de 0 et Q. En réunissant cette troisième période à la demi-oscillation rétrograde qui la précède immédiatement, nous constituons Y oscillation complète, de durée : T=
T, + T
" = 9" — 0',
et telle sera la formule qui résout la question. Ajoutons toutefois que si les circonstances qui résultent du choix de la fonction / [t) présentent des facilités favorables, on pourra compléter cette solution en déterminant la loi de succession des diverses époques 0^ auxquelles se produisent les traversées alternatives de la verticale, celle de leurs profondeurs X& — / (8 A ), ainsi que des durées T& des oscillations correspondantes.