Annales des Mines (1909, série 10, volume 15)
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7. Passons en second lieu à la recherche de la trajectoire. Nous obtenons immédiatement son équation entre les coordonnées polaires / et a, en substituant dans la formule (7) la valeur (1) du temps: (9)
= û
<H8W ^(7)1 -9 (9) HF(<)]. 4 (6) 9' (8) — ç (6) f (6)
La tangente se déterminera suivant le mode classique, au moyen de l'angle u qu'elle fait avec le rayon vecteur 1 , da
, da dt
(10)
. _, ...
d£ d/
c'est-à-dire (8) : (il)
tang u = £i/T'
(0
4 (8)
9' [F (01 -? (9) f [F(Ql f(Ô) 9' (8) — 9(9) <j/(6)
On connaîtra en particulier l'inclinaison U sous laquelle s'opère la traversée delà verticale par le mobile, en supposant à la fois dans la formule (10) / = À, o> = Q ; ce qui donne cette expression très simple : (-12)
tang U == ÛXF' (X).
8. Si l'on transforme à l'aide du changement inverse de variables l'expression ordinaire du rayon de courbure, elle devient : s 2T2
l + P
dl
da
d^a'
ai
dt2
mais je ne m'arrêterai pas à transcrire le résultat de la, substitution des dérivées de a d'après sa valeur (9). Nous obtiendrons en particulier les points d'inflexion en posant : dt* —
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ce qui peut encore s'écrire : tang 3 u +
3
tang u ==
l
liliïLSif),
si l'on a déjà préalablement effectué l'évaluation (il). 9. Il est facile d'exprimer l'aire de cette trajectoire. Traçons en effet une série d'horizontales infiniment rapprochées. Elles découperont cette surface en rectangles élémentaires, ayant pour côtés dl et / sin a, que nous confondons avec h. (n° 3). Ils ont donc comme superficie le produit de dl et d'une fonction connue de / (9), qu'il suffit d'intégrer. Nous en pouvons dire autant pour la recherche du centre de gravité de cette aire, de son moment d'inertie, de ses axes principaux, de ses divers potentiels, ainsi que pour les mêmes problèmes relatifs au volume engendré par la révolution de cette surface autour de la verticale ou de l'horizontale, ou encore au temps de parcours du mobile, à son énergie, etc. (■*). Ces nombreuses déterminations se ramènent toutes en effet à l'intégration du produit par dl de diverses puissances de o, <l, l, a, c'est-àdire finalement (9) de fonctions connues de l. 10. L'esquisse que nous venons de présenter trace la marche à suivre à l'occasion de chacune des formes que l'on voudra envisager pour la loi (1 ) du déroulement. L'on peut ainsi concevoir son application à une infinité d'énoncés différents ; mais une remarque préalable s'impose à cet égard d'une manière essentielle. Il nous faut, pour chacune de ces questions, distinguer (*) HATON DE LA GOUPILLIÈRE , Mémoires sur le centre de gravité, les axes principaux et le potentiel du temps de parcours (Annaes scienlificos da Academia Polytechnica do Porto, 1906; Journal de mathématiques pures et appliquées, 1908; Journal de l'École Polytechnique, 2 e série, 13" caliier ; Annales de la Société scientifique de Bruxelles, 1909).