Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1909, série 10, volume 15)

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OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDEES

Elle atteint alors le maximum : „ - g

-

fO + L (2n -f

+ »f«

3)2» -•' (2» - 3)2" 2 3 2 5) " + (2n — S) »-»]

'

L'ail ure se ralentit ensuite indéfiniment sous l'influence du facteur t ~, de manière à s'éteindre pour t = oo ; sans que la parenthèse (16) puisse d'ailleurs être annulée par aucune autre valeur que 0'. La même diminution progressive se produit pour a, et la direction pendulaire admet comme limite la verticale. Le régime, dans ce cas, est donc asymptotique et non pas oscillatoire. 13. Pour connaître la trajectoire, nous tirons de la formule (15) : (■7)

i=iM,

»=vfë.

V

V

mg

mu

/T V

'=v 0

X

et, en substituant dans (15) :

Le fil se rapprochant indéfiniment de la verticale, il ne s'ensuit nullement que cette droite doive constituer une asymptote de la trajectoire. Pour nous fixer à cet égard, il nous faut chercher la limite de la distance / sin a qui en sépare le mobile. Il est d'ailleurs permis de lui substituer i ■ i , sin a , , , I -j., puisque le rapport tend de son côté vers 1 unité. a

Or ce produit renferme comme facteur variable :

lequel croit indéfiniment avec /. Le tracé affecte donc une forme parabolique inscrite à l'intérieur de l'angle -/.

OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDÉES

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Si maintenant nous repassons de l'autre côté de la verticale, en faisant par la pensée varier/ entre X et zéro, nous voyons la courbe tournoyer en se rapprochant asymptotiquement du pôle. Mais une telle allure reste absolument étrangère à la question traitée ; notre hypothèse fondamentale (n° 3) nous interdisant de franchir les faibles valeurs de a. Il est incontestable que nous possédons dans la formule (15) l'intégrale rigoureuse de (4) pour le cas actuel; mais cette équation différentielle cesse elle-même, en dehors de ces étroites limites, de représenter le phénomène, qui n'est régi dans toute son étendue que par la relation (3). La traversée qui soude l'une à l'autre les deux branches a pour inclinaison (12) : tan g U=;Q

VV1--

Nous devons considérer comme complètement résolues pour cette courbe toutes les questions relatives aux aires, volumes, centre de gravité, etc. Nous les avons en effet (n° 9) ramenées à des quadratures portant sur des produits de puissances de <p, i, /, a, lesquels, dans le cas actuel, se réduiront chaque fois à de simples polynômes algébriques. 14. Examinons en particulier les deux hypothèses-limites qui comprennent, dans le cas des exposants réels, les valeurs réalisables de m; et en premier lieu le cas-frontière (n° 10) m= 1 de la pesanteur sans réduction, c'està-dire le déroulement suivant la propre loi des graves. L'équation du mouvement angulaire prend alors cette forme très simple :

L'arrêt se produit à l'époque : 0' =.-. 20.