Annales des Mines (1909, série 10, volume 15)
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OSCILLATIONS DES
BENNES NON
GUIDEES
OSCILLATIONS DES
quantité essentiellement positive, s'y trouvant représentée par un carré négatif. Il est en effet indispensable que tel soit, dans le trinôme, le signe du terme en fi, pour exercer sur le moment de la pesanteur une influence régulatrice et non pas encore plus perturbatrice. Nous devons donc écarter ce point de vue et opérer directement. J'aurai pour cela de nouveau recours à l'emploi des séries.
BENNES
NON
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GUIDEES
Cette relation de récurrence réunissant deux coefficients de même parité de la série de Mac-Laurin, celle-ci se séparera en deux autres, respectivement multipliées para,, et
(x) ' 1 ue nous désignerons plus simplement par
A et B. La solution se présentera dès lors sous notre forme fondamentale (5) :
- = A ? (y) + B| (y).
30. L'équation (4) devient par la substitution des valeurs (33) (34):
I Le changement de variables :
Les numérateurs des divers termes seront les factorielles successives du binôme H — n(n — 1), et l'on peut écrire :
'
x
lui fait prendre cette forme très simple :
{v)
= j _
JL
7 " ,,, _H (2.5 - H) (4.7 - HJ _ 1 .2.3.4.5.0 " _H(2. 5 — H) (4. 7 — H)(6.9— H)...[(2i — 2) (2*4 -1) — HJ .,. 1 .2.3.4... (2"ï — 1) 2t -!/-' — ■-, T (y)
-2
y
_"
1 -2 ■'
1 .2.3.4
_ i-4-H
(1 .4-
, (33)
0/ -')^+ 2
l
V^-
H
» =
0
-
Une série de différentiations successives nous donne :
w
' dy<
' ■
T
dy*
(I -4 — H) (3 .6 — H) (5.8 — II) , 1 . 2 . 3 .4 . 5 'J + ■■■
. (i .4 — H) (3 . 6 — H) (5. 8 — H) ... \(2j-\-l) (2/ +4) — H] 1 .2.3.4 ... 2j (2| + 1)
"
■ ry
'
+■••
Il est facile de s'assurer que l'une et l'autre de ces suites restent convergentes dans les limites de la pratique. En effet, le rapport d'un terme au précédent :
(?.</ 2
\
H)(3.6-H)
(n - 2) (n + -1 ) — H in — l)n
, _ \' y
~~
n) \
l
^n)i
n>
r2
>
n
et d'une manière générale :
tend vers la limite y 2 , lorsque n grandit indéfiniment. La condition suffisante de convergence est donc : On en déduit pour l'hypothèse y = o : = [H — (/( — 2)
+ 1
re -2