Annales des Mines (1909, série 10, volume 15)
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OSCILLATIONS DES 1SENNES
NON
GUIDEES
OSCILLATIONS
et en extrayant la racine carrée à l'aide de la série du binôme de Newton, également réduite à ses deux premiers termes, avec une erreur encore moindre : V
6 A + 3L
12A
M
T
'm
^^(*-^-f^î|i^
34. Cherchons enfin la loi de succession des longueurs et des temps d'oscillation dans la profondeur. L'allongement étant aT à la fin du premier battement, Le suivant commencera avec la longueur : L
(
= I. +
«\L-
r
BENNES
NON
GUIDEES
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Il nous vient donc, si nous appliquons cette réduction aux valeurs m = 1 , m — 3 :
I
u=(t + .)+ .,t
■
Il s'ensuit cette formule définitive :
DES
(« + |9 -4^(, + |i)
=('- + " î -i5^) + '0 + ^E -i#>
Le terme t' que fournit l'unité dans cette dernière parenthèse doit être conservé, mais les deux autres supprimés pour rester dans le même ordre d'approximation. II vient ainsi :
K
L =L
+2
(aVL
J
-v/i>).
-
J Ï
Imaginons maintenant que l'on applique encore une fois cette formule en y changeant respectivement L. et L 2 en L, et L 1; et recommençant pour L, les transformations qui précèdent. On vient de voir qu'elles ont abouti à augmenter de cette parenthèse l'expression qui servait de point de départ et qui la contenait déjà une fois, ce qui l'a portée au double. La nouvelle addition conduira donc au triple :
~ vî>.
On aura de même pour celui qui lui succédera :
= (L + v) + a \ L + v - -~j \ (L + r):«, t
si nous faisons pour abréger : •
=a
$ ~ ûh
N IA
Or on a par approximation, pour un exposant quelconque m : s 1
\'(L +
«r = \ i^
(i + Q'*
= \ L
™ (i + 1
'A
en négligeant les puissances supérieures du rapport :
Il demeure dès lors évident que l'on aura d'une manière générale pour la n" oscillation qui succédera à celle de longueur initiale L : L„ = L + W
(VL
- ^ v'?]-
La formule (37) en déduira ensuite la durée T„ en fonction de cette longueur L„.