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SPIRAL RÉGLANT 96 et tout en satisfaisant aux conditions de position et d'inclinaison assignées à ses deux extrémités, on déforme celle-ci dans son
plan, d'après la loi -1
r
ro
DES CDRONOMÉTRES ET DES MONTRES.
On a
constante, r et r étant les rayons
inN, -1-nT3-1- pT, X; -1- nN, ± pTi =-- Y ;
{ mT,
de courbure en un quelconque de ses points : le premier avant
la déformation et le second après. On a vu précédemment qu'il est possible de satisfaire géométriquement à cette condition en donnant aux courbes extrêmes une forme déterminée.
Je vais faire voir maintenant qu'il existe des forces extérieures capables de maintenir le spiral en équilibre clans cet état de déformation, et en même temps je vais chercher la valeur de ces forces. Pour cela, je rappelle d'abord les équations de l'élasticité. En premier lieu, en négligeant la pesanteur, on a, pour tous les points du solide, supposé homogène et d'élasticité constante, les trois équations aux différences partielles du second ordre
(I)
d'u eu d,2u d'v d'w (X+2 V') dx'+EL de+['-dz7+(l+ ) dxdy"+(l+EL)dxdz° d'v cru etv dx2 +(X+2 P.) a y2 +(' (1,2 +()+ A dxdy+(--1-P-) dei, 0 d'w d'w d'w d'y eu EL de +P. de + (X+ 2V) (TF,' +(X+ )dxdz+(X+EL) dydz°
Dans ces équations, u, y, w sont les projections, sur les axes
des x, des y et des z, du déplacement moléculaire du point dont les coordonnées sont x, y et z. En outre, pour tous les points de la surface extérieure, on a trois équations aux différences partielles du premier ordre. Ainsi, soient X, Y et Z les composantes, parallèles aux axes coordonnés de la force extérieure rapportée à l'unité de surface, agissant sur un élément quelconque de celle-ci; soient m, n, p les co,inus des angles que fait la normale à la surface en ce point avec les mêmes axes.
Soient, d'autre part, N T T, les composantes, parallèles aux axes des x, des y et des z, de la force rapportée à l'unité superficielle, pour un élément plan du corps, perpendiculaire à l'axe des X; T,, N T, les composantes, parallèles aux x, aux y et aux z, pour un élément perpendiculaire à l'axe des y;
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T T,, N, les composantes, parallèles aux x, aux y et aux z pour un élément perpendiculaire à l'axe des z.
mT, -1- nT, ±pN,
Z.
Les forces N N N T T T,, ayant les valeurs qui conviennent au point considéré de la surface. D'ailleurs, on a, d'une manière générale, du
civ
dw
N1 (-+- 2V') dX +.)s ty +X T -1 z ' dv du dw + 2v.) iii + À (1-7x + X 072,. ,
l N,
dw N3
'
du
dv
(X-F2Ei.) Ti +X Fi +X
et dv
Tc= y T.
dw
ça-,:é
dw
/du
-}-
du
dv\ -crx)
et y. sont deux coefficients numériques, constants pour une même substance. Imaginons deux sections transversales du fil, infiniment voisines l'une de l'autre. Elles sont normales à la ligne neutre, et, dans ce petit intervalle, l'élément de celle-ci se confond avec
l'élément de son cercle osculateur dont le centre se trouve à la rencontre du plan que j'ai appelé horizontal avec l'intersection de ces deux plans transversaux, lesquels sont perpendiculaires, ainsi que leur intersection, au plan horizontal. Je suppose, comme cela arrive toujours, que la forme extérieure du fil soit telle, que le plan horizontal coupe cette surface suivant deux éléments se confondant avec deux petits arcs de cercle ayant le même centre que l'élément correspondant de la ligne neutre, et que, de plus, tout plan, parallèle au plan horizontal et rencontrant la surface extérieure du fil, la coupe suivant des petits éléments d'arcs de cercle ayant tous leur TOME XX, /861.
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