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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

fonction p de ces trois variables et du temps t, ou que

répandue, j'ai pensé qu'il ne serait pas hors de propos d'en présenter, sous forme de notes, à un point de vue autant que possible géométrique, les principes fondamentaux, et j'ose espérer qu'en agissant ainsi, je ne ferai qu'augmenter le nombre des lecteurs de l'ouvrage cité plus haut de M. Lamé,

Enfin je ferai obServer que, en vue d'abréger l'écriture, je me bornerai très-souvent à écrire la première de trois équations pouvant se déduire l'une de chacune des deux autres par une simple permutation de lettres.

dx'

,

dy

= dt

"V"

dy'

,

dy

= dt 17'

dy

dz'

,

(a)

cl?

717

'

d'où .

PREMIÈRE PARTIE. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE

DANS UN LIQUIDE PESANT INDÉFINI.

I. Équations du mouvement du liquide et du corps en coordonnée, .rectilignes.

t. Rappel des équations générales du mouvement d'un Iiguide pesant.

Soient au bout du temps t: x', y', z' les coordonnées d'une molécule m du liquide pa-! rallèles à trois axes rectangulaires fixes O'x', O'y', O'r';

p le rapport de la pression au même point à la densité de liquide, ou encore la valeur de cette pression, en sup-; posant, comme nous le ferons dorénavant, la densW égale à l'unité ; V, Ire , Vz, les composantes parallèles aux trois axes de la vitesse V de la molécule m. , Vz, sont respectiveNous supposerons que Ve , ment les dérivées partielles, par rapport à x', y', z', d'une

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dd

V

u;),) 2+ ( dd;fi) 2+ (ddz?.,)',

et nous rappellerons qu'il suffit en général que ces relations soient vérifiées à une époque quelconque pour qu'il en soit de même pendant toute la durée du mouvement (*) . Par suite de cette supposition, la vitesse V est normale à la surface représentée par l'équation constante , et

comme la somme des carrés des dérivées partielles premières d'une fonction de trois variables a une valeur (**) indépendante du choix des axes coordonnés, il en résulte que les formules (a) ont lieu pour tout autre système d'axes rectangulaires que l'on voudrait substituer aux premiers. L'équation (b)

d'?,

,

d'y

dy

jointe aux conditions spéciales du problème, fera connaître la fonction y.

Si nous désignons par Z la distance du point TU à un plan horizontal fixe, considérée comme positive ou négative selon qu'elle sera située au-dessous ou au-dessus de ce plan, par g l'accélération de la pesanteur, on aura, pour calculer la pression p, du> V' p(e) dt

-

(*) Voyez notamment la Mécanique de Poisson. (**) Voyez les notes placées à la fin du mémoire.