Annales des Mines (1865, série 6, volume 7) [Image 41]

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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

12. Valeurs des quantités Pu et Q. III. Cas où la surface du corps est symétrique par rapport à ses axes

principaux d'inertie passant par son centre de gravité.

11. Forme de la fonction cp. Lorsque le corps est symétrique par rapport aux axes Ox, 0y, Oz, p est une fonction de x, y, z, qui conserve la même valeur et le même signe lorsque l'on change le signe de l'une quelconque de ces variables, en d'autres termes p est une fonction paire des trois coordonnées rectilignes. II est d'ailleurs, facile de reconnaître que(-dL-p est le produit d'une u

Supposons que l'on remplace y par sa valeur (1 i) dans l'équation (3), que l'on porte ensuite la valeur résultante de la pression po à la surface du corps dans celle des équations (e), qui donnent Ps et Q. On reconnaîtra par une discussion simple, basée sur la symétrie de la surface du corps, que les termes de po qui ne s'annulent pas par l'intégration, sont ceux qui sont impairs en x pour Px, et impairs en y et z pour Q. Si donc on remarque que, à la surface du corps, .x, y, z sont indépendants de t, on devra prendre tout simplement

fonction paire par u, qui change de signe avec u, en conservant la même valeur absolue, en d'autres termes c'est une fonction impaire de u.

- gZ

- po

dx dx dB, d p

,

dxdydy

et comme

dp

dB d p

dp

dz â =

po= /izE

dz

yzE, ,

C +x Da yD, ay+ zD, az+ yzE,n,+ -1- .x.zEyny+ xyE,.n.,.

(*) Formule (7) des notes.

dy

dy

ayn. +

dn, dt

+ yz

dz

d.Do d. D_

a cc+

dx dx d xE d.xE_ n,n, pour Q-.: dx dx

Portons ces valeurs 'dans celles des formules (6) qui donnent P et Q, désignons par M' la masse du volume liquide déplacé par le corps, et soient h

(12)

dx

3hih,xD,dpidp,,__(*)SxD,dydz,

rn

a, =

ç h d.yD,

en désignant d'une manière générale par D, E, deux fonctions paires des coordonnées rectilignes. On est donc conduit à admettre pour la fonction y la forme

(ii)

d.yD,

d p\

est une fonction impaire de u, on voit que

B,

x

dz

dz dz

u ces deux conditions, considérées comme équations différentielles, exigent que

xD,

dt

dp

dA,dp4_ dA,dp d p dy dB, dp

d a,

d. zEL dz .E_

Cela posé, nous remarquerons que la première et la quatrième des conditions o) peuvent se mettre sous la forme (*). dA, dp

xD

dy

dx dy

dp

_cx d.yD, d'zE- dydz, _

dy

(-) Il ne faut pas perdre de vue que h dx lè,h, d p aPi

,

= cos (N'a') d. -= dy dz.

dy