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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
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MÉMOIRE SUR
LES COORDONNÉES CURVILIGNES Par M. E. ROGER, ingénieur en chef des mines.
Introduction. -- L'emploi des coordonnées curvilignes s'étend chaque jour davantage. Bien 'que l'on ne se soit
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données curvilignes quelconques, qui pourront seules aborder les nouvelles questions dans leur généralité... » Nous nous proposons d'étudier, dans le présent mémoire, divers systèmes de coordonnées curvilignes, obliques pour la plupart. Nous établirons quelques formules, à la fois très-générales et très-simples, les premières, en quelque sorte, que l'on rencontre dans cette voie nouvelle que M. Lamé a signalée à l'attention et aux efforts des géo-
mètres. Nous ferons ensuite ressortir l'utilité de nos formules, en montrant avec quelle facilité elles donnent la solution, à peu près complète, de l'une des questions les plus épineuses de la mécanique moléculaire, la capillarité.
guère occupé jusqu'ici que des systèmes orthogonaux, cette
méthode analytique, extension naturelle de la méthode créée par Descartes, s'est montrée remarquablement féconde, surtout entre les mains de l'éminent géomètre que la
PREMIÈRE PARTIE.
science et le corps des mines ont perdu récemment, M. Lamé. « Ce sont précisément les systèmes de coordonnées, comme le fait remarquer M. Lamé, qui caractérisent les phases ou les étapes de la science. Sans Fin-
vention des coordonnées rectilignes, l'algèbre serait peut-être encore au point où Diophante et ses commentateurs l'ont laissée, et nous n'aurions ni le calcul infinitésimal ni la mécanique analytique. Sans l'introduction des coordonnées sphériques, la mécanique céleste était absolument impossible. Sans les coordonnées ellip-
tiques, d'illustres géomètres n'auraient pu résoudre plusieurs questions importantes de cette théorie, qui restaient en suspens, et le règne de ce troisième genre de coordonnées spéciales ne fait que commencer. Mais quand il aura transformé ou complété toutes les solutions de la mécanique céleste, il faudra s'occuper sérieusement
de la physique mathématique ou de la mécanique ter« restre. Alors viendra nécessairement le règne des coor-
LA
1. Systèmes unicursifs. - On peut définir la position d'un point de l'espace soit par les trois coordonnées rectilignes habituelles (x, y, z), soit par trois autres variables 0,, v.,y) liées d'une manière quelconque aux coordonnées (x, y, z). Si, à chaque système de valeurs réelles des variables (x, y, z), il correspond un système unique de valeurs réelles des nouvelles variables 0,, p., v), le nouveau système sera propre à représenter, sans ambiguïté, tous les points de l'espace indéfini. Nous dirons alors qu'il est unicursif. Supposons cette condition remplie pour un point déterminé, et considérons un point infiniment voisin. Lions les deux systèmes de coordonnées par trois équations telles que celles-ci (i)
X =fi(X, P., Y),
y = f,(X, P., Y),
z = fa(X, p., y);
il est facile de voir que le système 0,, y., y) ne pourra être