Cette page est protégée. Merci de vous identifier avant de transcrire ou de vous créer préalablement un identifiant.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Désignons maintenant par X Y Mes cosinus des angles que fait avec les trois axes (x, y, z) la normale à la
Désignons par A, B, C les inclinaisons mutuelles des trois faces adjacentes au- sommet N; nous aurons
114
const. au point N. Ces trois cosinus seront désurface terminés par les trois équations -suivantes dy dx c7 + Y' 7(7. dy dx
717.
+ Z,
dz
cos A = X,Xs + Y2-7.3 + Z,Za.
Si l'on remplac X X3... par leurs valeurs, on trouvera sans peine, toutes réductions faites, l'équation suivante cos A = ds'ids,ds, (cos p cosy cos a) = cos p cos y cos cc do d o-
dz
x 77, + Y,
115
o,
sin i3 sin y
X21 -E
1.
7.21
Il résulte des deux premières équations que X Y1,
Z,
sont respectivement proportionnels aux binomes dy dz
dz dy
dz dx
cl;
dp. dv
cl;
irti
dy dx
dx dy
dx dz
cILA
p.
dv
On aura donc, en ayant égard à la valeur de da-1,
X, =
dz dy
dy dz dp dv
dp.7 do-,
y, =
dpdv,
Z,
Il est. à peine nécessaire de faire remarquer que les cosinus X Y Z, mesurent respectivement l'inclinaison de l'une 'des faces du parallépipède sur chacun des trois- plans coordonnés du système (x, y, z). L'aire dc, s'obtient, comme on pouvait s'y attendre, en réunissant les trois projections de cette aire sur les plans coordonnés, de la même manière que l'une des diagonales d'un parallélipède rectangle se déduit des trois côtés du parallélipède. L'angle L, que l'élément linéaire ds, forme avec la norest donné par l'équation male à la surface )= X, cos L
dx
dy
d'A
ds,
Z,
formule identique (sauf la substitution de 7C A à A) à celle qui lie, clans un triangle sphérique, l'un des trois angles aux trois côtés- du triangle. Par un simple changement de lettres, on déduirait de là cos B et cos C. 11 est facile de voir que les trois cosinus des angles a, p, T et les trois cosinus des angles A, B, C s'évanouissent simultanément ; il en résulte que si les éléments linéaires du parallélipipède infinitésimal se rencontrent orthogonalement, il en est nécessairement de même des .éléments superficiels', et réciproquement. 5. Éléments de volume. En donnant à ce parallélipipède da-, pour base, et, par suite, c/s, cos L pour hauteur, le volume dU du solide élémentaire s'exprimera ainsi qu'il suit
On déduit de là (3)
dU = r-clx
dli dz
dcrids, cos L.
de d'y\
(dz dx
dx dz
717;.- d2 v
\dLT.
c7;
dv
dz f dx dy (77, UT.. cl;
dy dv
dXdpdv.
c'
Le coefficient différentiel.quimultiplie d),dp.dv n'est autre
dz
chose que Ié déterminant D des neuf quantités dx,- dx
dA
dx dy dX.
-** ment de sorte que l'élé
a! di.f.
de volume dU ne s'éva-