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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Par l'un des points de l'arête horizontale qui sépare deux parties du cylindre, menens trois axes rectangulaires Mx, Mg, Mz, dont le premier coïncide avec cette arête, le second avec la direction de la ligne de plus grande pente, le troisième avec la normale au cylindre. Soit un arc de la ligne de plus grande pente, au-dessous de Mx; n le centre d'un élément superficiel appartenant à l'autre partie de la surface. Si l'on transporte en M un élément superficiel M'M", l'inclinaison de la tangente à la ligne de plus grande pente subira une variation y proportionnelle à l'arc MM'. L'attraction exercée par l'élément n
D'après cela, la résultante qui correspond à l'unité linéaire s'exprimera comme il suit, en introduisant les Coordonnées planisphériques z), B. --------
a-'11(
o Jo
SPI" 0
à l'élément n, sur la ligne de plus grande pente qui
on ait à tenir compte) exprimée par D (),)
cos5
même temps, remplacer MM' par ady et faire dx1....=1 (ce qui équivaut à une première intégration, entre les limites
F=
.
cos (0 + cf) +
(P)
II(X)
R -= a
[y sin y, +
X' sin't,L cos2v.
z(1
C°S
[el cos pi)
)] cos 0
sin ?i] sin Oldldp..
-z sin 0)
dc.M111'.dx', en désignant par (x, y, z) les coordonnées du point n', par ) la distance n'M TM', par 0 l'angle que l'axe My fait avec la verticale, par d7 l'étendue de l'élément superficiel n' et par dx` un élément de l'arête Mx. Pour restituer à la force attractive F sa véritable direction, il suffira, en raison de la symétrie de la figure, de substituer, dans l'expression précédente, 0 y à 0; on peut, en xr= o, x'=-1) ; on aura ainsi
[y cos (O
En intégrant tout -d'abord par rapport à y, on obtient
contient le centre de cet élément, un déplacement nn' d'égale étendue; la direction de la force attractive sera seule changée. Dans sa nouvelle direction, cette force attractive donnerait une composante verticale (la seule dont
sin'p. COS2V.
z sin (0+ ?)] dXdv.dy.
sur HM" ne sera pas modifiée dans son intensité si, en même temps qu'on ramène 11/EM" en M, on fait subir
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lequel doit varier entre zéro et la limite y, déterminée par l'équation y = a sin ch.
De là, en remplaçant sin y, par
a
cos y, par
-a
et y par
\/),'z° sin EL, on déduit IIKzdXclv.
R = 2a cos 0
0
sin2p.COSL
/ Après avoir substitué à z sa valeur
a1
A' sm2p. cos'EL
a' sin =Eh
l'intégration par rapport à F. s'effectue sans difficulté et -e)- sin (0
?)] do-4.
donnereint lieu à Tous les éléments de l'arc une composante identique, à la valeur près de l'angle y,
l'on retrouve la résultante R obtenue tout à l'heure. 22. Attraction réciproque de deux parties d'une surface sphérique. Considérons deux parties d'une sphère séparées par un plan sécant que nous supposerons horizontal. En un point quelconque du parallèle commun, concevons