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RÉSEAU PENTAGONAL.
normal a la direction trouvée, tout en restant perpendiculaire à cet arc q; 2° dans chacune de ces positions, d'éprouver une déviation quelconque au plus égale à p. Pour que le système observé puisse être représenté par le réseau pentagonal, il faudra que dans une des positions ainsi définies, le cercle calculé d'après les observations, coïncide avec un cercle du réseau. Nous allons chercher quel est la probabilité qu'il en soit ainsi pour un cercle où l'approximation des observations est représentée par les nombres p et g, et nous commencerons par chercher quelle est la proba-
bilité pour qu'un tel cercle coïncide avec un cercle quelconque déterminé du réseau. Soit donc (Pl. VI, fig. Io) AB le cercle de comparaison obtenu par la combinaison des observations en un point central A, soit DD un grand cercle perpendiculaire mené par A. Sur DD, prenons un arc mn = g. Ce sera l'arc suivant lequel le grand cercle AB peut voyager sans sortir des
antes des observations. Prenons mm, = ne, = go°, quand AC voyagera de m en n, normalement à DD, son pôle voyagera de m en n, Si 900; A, sera le pôle de la position AB on prend AA, figurée.
Ce voyage ne comprend qu'une partie du déplacement .que peut subir .AB sans sortir des limites des observations. Dans une quelconque des positions, celle qui est figurée par exemple, .AB peut tourner autour du point A, d'un angle au plus égal à p, de part et d'autre de la position normale,
de façon à aller en Ib., ou en Ab'. Dans ce mouvement, il est clair que le pôle de AB décrira un arc de cercle 1)1 bit, perpendiculaire à DD en A, et tel que A, b1 = A, bi` = p. Il
en sera de même pour tout autre position de AB, et en opérant ainsi de m en n, on aura fait prendre à AB une seule fois toutes les positions compatibles avec les observations. Mais alors le pôle de AB se sera mû sur une surface formée par des arcs de grands cercles perpendiculaires à
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Dl) de m, en n et s'écartant de DD de part et d'autre à une distance uniforme pour tous et égale à p.
Or, il est évident que cette surface n'est autre chose qu'un fragment de zone sphérique dont la hauteur est 2 sin p, car toutes les extrémités des arcs du grand cercle normaux à DD et égaux à p, se trouvent sur un petit cercle
parallèle à DD et distant de sin p de ce grand cercle. La valeur de cette surface est dès lors facile à calculer. Si en effet on désigne le rayon de la sphère par II, la hauteur de la zone sera 2 R sin. p. et la surface de la zone totale de cette hauteur fora 47c11. sin p; mais nous n'en avons qu'un frag-
ment correspondant à q°, la surface de cette fraction sera
donc 47.11' sin p, g étant exprimé en degrés. Or pour que le grand cercle AB coïncide avec un cercle déterminé quelconque du réseau, il faut et il suffit que la surface en question comprenne le pôle de ce cercle. Le problème qui nous occupe est donc ramené au suivant. Étant donné une surface de forme donnée qu'on jette au hasard sur un hémisphère, déterminer la probabilité qu'elle a d'y rencontrer un point déterminé. Or rien de plus facile à résoudre que ce problème ; car il peut se renverser, et la probabilité cherchée est la même que -celle qu'aurait un
point jeté sur l'hémisphère d'y rencontrer une surface donnée. Cette probabilité est évidemment le rapport de la surface donnée.à celle de l'hémisphère. Soit pour notre cas 47,.11.' :I- sin p 56o 2n11.2
=_.
q
i8o
p;
étant toujours exprimé en degrés.
Toutefois, comme nous sommes actuellement au point fondamental de notre examen, nous ne croyons pas inutile
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