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ANNONCES.
ANNONCES.
propriétés curieuses, qui n'avaient point encore été remarquées, et dont voici les principales. Deux tangentes.conjuguées sont réciproques l'une de l'autre, .que, si l'arête- d'Une première surface développable est tangente à la ligne de contact d'une seconde surface de la même espèce , réciproquement la tarigente à la première ligne de contact sera l'arête de la se-
en sens opposés lorsque l'indicatrice est une hyperbole. De cette manière , l'examen des diverses infleXiuns que la surface peut éprouver par rapport au sens de ses courbures, se trouve ramené à la discussion fort simple des courbes du
conde surface.
On peut toujours tracer dans le plan tangent, en un point donné , une section conique qui ait ce point 'pour centre, et dont les systèmes de diamètres confugués"représenteront en direction tous les systèmes de tangentes conjuguées. M. Dupin nomme cette courbe l'indicatrice , parce qu'en effet il prouve qu'elle indique par sa nature le sens des deux Courbures principales de la surface -en chacun de ses points.
Les deux axes de l'indicatrice ou les tangentes conjuguées rectangulaires , sont tangentes aux lignes de plus grande et dernoindre courbure. Pour un mérite point d'une surface donnée , le rayon de courbure de chaque section normale est proportionnelau carré du diamètre de l'indicatrice qui se trouve dans le plan ..le cette section 3, d'où il suit que selon que l'indicatrice est une ellipse ou une hyperbole, la somme ou la différence des rayons de courbure des sections qui répondent à deux tangentes conjuguées, est une quantité constante , égale à la S0111 me ou à la différence des deux rayons principaux. L'un
de ces deux rayons devient infini , et la courbure disparait dans un sens, lorsque 'l'indicatrice se change en une para,bote; ce qui arrive, par exemple en tous les points des surfaces développables, Dans le second- et le troisième Mémoires ,.M. Dupin ap-
plique l'analyse aux questions qu'il a traitées dans le pre-
mier, et par ce moyen il développe et complète les démonstrations de plusieurs des propositions précédentes. Il forme l'équation de l'indicatrice pour un point quelconque d'une surface donnée ; quand cette courbe est une ellipse
les deux courbures de la surface au point que l'on considère sont tournées dans le même sens ; elles sont tournées
second degré.
Dans le cas de l'indicatrice hyperbolique-,. lgle des asYmptotés fait connaître le rapport des deux Courbures principales. Il est droit, et l'indicatrice est une hyperbole équilatère, en tous les points de la surface dont l'aire est un minimum entre des limites données; car on sait que cette surface jouit de la propriété d'avoir en chacun de ses points ses deux-- rayons de courbure principaux, égaux et dirigés en sens contraires. On sait aussi que, si une surface du second degré peut être engendrée par une ligne droite, elle est susceptible d'une seconde génération semblable, et qu'il
y a toujours deux génératrices qui se croisent en chaque point. Or, M. Dupin prouve que ces deux droites sont les deux asymptotes de l'indicatrice; d'où il conclut que sur un hyperboloïde à une nappe", ee;sur un paraboloïde hyperbolique , les directions de i:o:p1;us grande et ,de la moindre courbure en un point quelconque partagent, en deux parties égales, l'angle des deux génératrices et son supplément ;
car c'est en effet la,propriété des axes par ,raeort à seS
asymptotes.
La plus grande partie du troisième Mémoire est employée à la détermination des points pour lesquels l'indicatrice est un cercle, et où, par conséquent, les courbureS de toutes les sections normales sont égales. Ces points remarquables ont déjà été considérés par M. Monge, qui les a nommés ombilics. Relativement à un point de cette espèce, l'équation des lignes de courbure devient identique , et leur direction semble d'abord devoir être indéterminée. C'est, ce qui arrive effectivement en certains points, comme aux sommets des surfaces de révolution ; mais M. Dupin fait voir qu'il y a d'autres ombilics par lesquels rie passe qu'une ou trois lignes de courbure dont les directions sont déterminées , et il donne la raison de cette espèce de paradoxe.