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CHEMINS DE EER..
le solde d'intérêts en faveur de l'État serait donc (5)
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NOTES-ANNEXES.597
ÉTUDE FINANCIÈRE.
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sent, l'intérêt en serait égal à celui que donnerait la somme de 66.000.000 fr. placée à la fin de 1882 (1). (i) Cette assertion est à peu près évidente, cepenlant on peut
ce qui peut s'énoncer « le taux par franc multipliant l'excès du produit du temps total par la balance des capitaux sur la balance des produits des temps partiels par les capitaux »; ces derniers produits se désignent par l'expression nombres, et l'usage de cette formule (5) s'appelle méthode rétrograde il permet, lorsque le temps D varie, de modifier le compte d'intérêts sans refaire le calcul des nombres. Dans le cas présent, l'administration prévoit que pour chaque année de 1863 à 1890 l'État fera à l'ensemble des quatre Compagnies une avance totale effective de manière que les quantités a sont nulles; la formule (5) se réduit donc à
la démontrer ainsi. 277/ 71, m, uni+ I ni, in -1-1, in+ 2, Soient 1, 2, les numéros d'années consécutives à latin de chacune (lesquelles l'État fait aux Ci" des avarices en progression arithmétique de rai-
son r croissant jusqu'en l'an m +1 et décroissant ensuite; ces avances, si l'on appelle la première a, seront t
(7)
a, a +r, .....a+(m-1)r, a--m1', a+ (mi)r a+ 2r, a+ r, a,
le total S de ces avances, par application de la formule. connue qui donne la somme des terthe,s d'une progression arithmétique, sera
(2in + 1)0+
rrn +
)71/
7/7(M
/
9
2
ou (6)
t(Dl'a
Nous admettrons que pour chaque avance annuelle de l'État l'intérêt court à partir du Si décembre de l'exercice dont cette avance parfait le revenu. Ce procédé concorde avec les règlements de 1865et 1,868 (V. n" 28 et 56), qui énoncent en leurs titres Ill que le Ministre des Travaux publics peut arrêter le montant de l'avance à faire à la Compagnie « immédiatement après la fin de choque exercice et avant le règlement définitif « des comptes des recettes et des dépenses ». Dans le compte d'intérêts l'avance du Trésor datée du 31 décembre de chaque exercice, de 1863 à 18;3, sera l'insuffisance indiquée pendant cet exercice par le tableau n° 57; nous admettrons, suivant le discours prononcé par M. le Ministre des Travaux publics le 16 juillet 187i (V. n" 59), que de 1874 à 1884 l'insuffisance se trouve inscrite à l'état C sur la même ligne que l'année dans laquelle elle se produit (V. n" Go) : par conséquent l'avance du Trésor comblant cette insuffisance sera datée, sur le compte d'intérêts, du Si déeembre de cette année. Quant aux avances formant le supplément de 60.000.000. fr., si l'on supposait que dans les dix-sept années de 1871 à 1890 elles suivront une progression arithmétique croissant jusqu'au milieu de cette durée, c'est-à-dire jusqu'en 1882, puis décrois-
(am + i)u rne. S (s) Si cette somme S était placée au taux t à la fin de l'an m + son intérêt X à la fin de l'an 2M + 1 serait évidemment X = t ni>< S, GO, en remplaçant S par sa valeur tirée de (8), t X nt Rani t)a X (9)
D'un autre côté, à la fin de l'an uni + L le total Y des intérêts au taux t des avances (7) sera évidemment ± [a+ (nt 1;71(m+ 1) + X 2M ± (a + r) (277/-0 +
y=t la+(a
[a + (nii»,l(m 1) +
ce qui peut s'écrire Y= tH2nt + [a +1]271L
(a+ 22').2 +(a 4-r),
+ [a+ (nt 1)r]21)1 + (a +1117)nt a + mr
=t X 271/ a +[a + r] +[a+2r]+.....+ [a -1-(m-1)/]
=ixam ma+ r(i+ 2 + 3 = t X 271/ ma+ et
-1-
-
2
+ nie 2
7' /7/(m 1) a+ M7' 2
2
Y= t x m[(2m 1)a + (Lo) Mais cette valeur de Y est précisément égale à celle que donm pour x la formule (9); donc les intérêts X et Y Font égaux. C(1111111E nous l'avons énoncé. Cette égalité entre les intérêts X et Y subsis.