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NOTICE NÉCROLOGIQUE
Mémoire sur les propriétés d'un ,qn.seriele de droites menées de
tous leipeinfs de l'spaçqiisuivant.ue. loi continue (Journal de
l'École polytechnique;.1861).= Les angles des droites dont il m'agit avec trois axes fixes doivent être regardés comme des fonctions des coordonnées des points par lesquels elles sont menées. Quelles que soient ces fonctions, en peut prendre pourAieu,des points d'origine une surface telle (appelée par l'auteur résolvante), puis poes sur les droites des longueurs déterminées par une telle fonction des coordonnées que les extrémités :de.,ces longueurs se trouvent sur une surface (appelée directrice) qui leur soit normale. Le nombre des solutions est même illimité, et, entre autres, il est clair qu'à.,.nne même résolvante correspond un ensemble cleMurfaces directrices parallèles.. Les plans tangents en un pointilaux diverses ré,solyantes passant par ce point contiennent toutes une même ,droite, perpendiculaire à la droite correspondante du système, et pauteur,montre que cette propriété est l'interprétation géométrique de la condition d'intégrabilité des équationediffe,,ren' tielles totales. Il complète aussi un théorème de Malusisur les conditions nécessaires pour que la droite relative à un9point soi rencontrée par les droites relatives à des points contigus, Ce mémoire, entièrement basé .sur l'analyse, a été l'objet d'un rapport élogieux de M. Chasles à 1;4.cadémie des sciences. De la projection gauche (Nouvelles Annales de mathématiques, 1865 et i866). Tronson nomme ainsi le tracé qu'on obtient en projetant les différents points d'une figure sur un plan, nommé tableau, par des droites assujéties à rencontrer deux droites fixes, et considère spécialement le cas oh les figures primitives appartiennent à un plan. ,119, La projection de toute droite estnne conique, passant par trois points fixes, et réciproquement toute conique satisfaisant à cette dernière condition répond à une droite. Cela fournit un moyen de transformer tout théorème relatif,à des droites en un autre relatif à des coniques. Généralement la projection gauche d'une figure de l'ordre n est de l'ordre an, et possède trois points multiples de l'ordre,,n, imaginaires ou-réels, coïncidant . avec les trois points communs aux susdites coniques. wjen 5(i Si on fait tourner le plan du tableatrautour dem.on intersection avec celui de la figure primitive, les positionsAes directrices variant en même temps de telle sorte qu'elles continuent à-,traverser l'un et l'autre plan aux mêmes points, la projection n'est pas modifiée. L rotation peut aller jusqu'au rabattement du plan du
SUR ABEL TRANSON.
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tableau sur celui de la figure, et la transformation gauche est ainsi ramenée à une transformation plane, dont les résultats sont identiques et dont l'épure se trace très-facilement par des lignes droites. Études sur les rouletleS (18115, Nouvelles Annales, 'tome IV, sous
lelloin d'un abonné, et Journal de M. Liouville). ;Par des considérations immédiates de géométrie infinitésimale, fondées sur l'assimilation des courbes à des lignes brisées, Transon démontre très-Simplement-que, si un arc roule d'abord sur la convexité, puis sur la concavité d'un arc fixe, les mêmes points de la courbe mobile étant successivement en contact avec les mêmes points de 1agfieV-.1a. sommebitaa différence des deux arcs décrits par tin pnintidiï,plan 'Web, mobile est indépendante de la nature de la ligne fixe: Même indépendance en ce qui concerne la somme ou la
différence des aireel des quadrilatères mixtilignes limités parles arcs,dedarecourbe fixe et de la roulette, et par les deux droites jdignant les premières et dernières extrémités de ces arcs Dans ces énoncés, il faut regarder la somme, si les rayons de ceni-bure de l'arc,nlohile sont plus petits que les rayons de courbure correspondants de l'arc fixe, et au cas contraire la différence. Si donc on connaît la longueur et l'aire de la double roulette engendrée par une courbe roulant sur une courbe donnée, on connaîtra les longueurs et les aires de toutes les doubles roulettes de la même mobile. En particulier, si la ligne fixe est une droite, la longueur et l'aire de la roulette simple en sont les moitiés; si la courbe fixe estiidentique à la mobile, les ,contacts se faisant aux points semblables, l'arc de la roulette est donhIe'de:Ci,ei'ttifieil est quand le roulement a lieu sur une droite. Lorsqu'aux,pointsitorrespondants les rayons de coUrlSi.We'de la fixe et de la mobile sont dans un rapport constant, ce qui arrive pour les épicycoïdes, les arcs des roulettes extérieure et intérieure sontentre eux comme la somme de ces rayéliiSidedonfbili4e est à .leurldifférence.
Mi' point d'une circonférence qui roule à l'intérieur d'Une circonférence de rayon double décrit, comme on sait, un diamètre de cette dernière. De cette propriété et-des théorèmes et lemmes précédents,'Transon déduit les expresSions de l'arc et de l'aire de 0 toute épicycloïde. Un point quelconque9lieà cette'imême circonférence décrivant une ellipsei,11-en résulte encore qnd les arcs de toutes les antres épicycloïdes allongées ou raccourcies (c'est-à-dire engendrée de