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NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.
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NOTE SUR LE PLANIMÈTRE D'AMSLER.
ordre des triangles, tels que mm'p et nnrq. Les tranches étant infiniment minces, on aura 0.
Ezt est l'arc total de rotation de la roulette, quand la pointe parcourt successivement les périmètres complets des quadrilatères allongés tels que mngp. Or, sans altérer /z nous pouvons, du chemin total parcouru par la pointe, ne
conserver que ce qui appartient aux triangles tels que mnil p et nni q : car cela revient à supprimer des arcs de courbes de glissement, arcs pour lesquels le roulement de la roulette est rigoureusement nul. Mais alors il ne restera
plus à faire parcourir à la pointe que le périmètre extérieur de la surface totale formée par l'ensemble des quadrilatères tels que mqn'p. Dans ces conditions, les tranches étant infiniment minces, le roulement de la roulette sera
le même que si la pointe parcourait le périmètre de la courbe fermée. Car, pour un déplacement élémentaire quelconque nim de la pointe, le déplacement correspon-
dant de la roulette est, en général, oblique au
compose son déplacement élémentaire en deux déplacements composants, l'un parallèle au plan de la roulette, l'autre normal; le premier déplacement composant représente le roulement de la roulette; le second fait glisser la roulette sans qu'elle roule; le premier déplacement fait parcourir à la pointe un élément d'un cercle de roulement; le second déplacement lui fait parcourir un élément d'une courbe de glissement. roulette
quand la pointe parcourt le périmètre de la courbe fermée, on a donc Z.
Des trois dernières équations on tire (8)
LZ.
du planimètre à son intérieur, la surface limitée à la courbe est égale au produit de la constante L (longueur de AB) par l'arc dont tourne la roulette quand la pointe parcourt le périmètre complet de la courbe fermée. 26 CAS. Le pôle est dans l'intérieur de la courbe fermée. et V," Imaginons d'abord (fig. o) deux courbes fermées
intérieures l'une à l'autre, comprenant dans leur intérieur
le cercle )3, et le pôle 0, et situées dans l'intérieur du Appliquons le mode de décomposition précercle cédent à la surface comprise dans l'espace annulaire que laissent entre elles les deux courbes fermées w et vv. En appliquant à chaque élément de la décomposition la formule (7) =--
et en faisant la somme, on a
plan de
cette roulette ; pour avoir le roulement de celle-ci, on dé-
En appelant Z l'arc total de roulement de la
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Donc, pour une courbe fermée ne contenant pas le pôle
Dans cette équation, le premier membre représente l'aire comprise entre les deux courbes. Au second membre, en supprimant dans les termes qui se détruisent, il ne reste dans Ezi que l'arc total dont tourne la roulette quand la pointe décrit successivement la courbe extérieure p.p. dans le sens direct (sens du mouvement des aiguilles d'une montre) et la courbe intérieure vv dans le sens inverse. Maintenant à la courbe vy substituons le cercle
(fig. H). En vertu du résultat précédent, l'aire comprise entre la courbe fermée LIV. et le cercle ),), est égale à L mul-
tiplié par l'arc total dont on aura tourné la roulette, quand la pointe aura successivement décrit la courbe dans le sens direct et le cercle )3, dans le sens rétrograde. Écrivons ce résultat, en appelant ûr la surface totale comprise dans l'intérieur de la courbe p.1.).. et Z' l'arc dont tourne la rou-
!!