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THÉORIES RELATIVES A LA COORDINATION
27cI 1
gone a q côtés. On a donc
Il en: résulte que p et q ne peuvent prendre que les
7C (q-2)=27:(1 (-
q
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DES .SOULkVEMENTS:
1
-) 2
Soit n le nombre de ces polygones couvrant exactement la sphère ; la somme de leurs aires sera égale à, l'aire totale de la sphère dont le rayon est l'unité
valeurs 3, 4 ou 5. En combinant ces valeurs deux à deux, on est conduit à rejeter les combinaisons suivantes, qui ne satisfont pas à l'inégalité (2) p=_-5 car -2--1 (1.= 2 5
Sn
P -= 5
car -9,,.
,1-.
<O
<0
symétriques '" ~ t réciproques { p=4) car --- <0 1 ) q=-5 20 2
OU
(1=---*
---)2 =-477,
27:qn (-I
(1)
I
P
.
et comme l'aire de la sphère est un nombre essentiellement positif, on déduit de l'égalité précédente l'inégalité I q
I
(2)
p
I 2
4 q----= 4 plcar--9
--=0. 2 1
Il ne reste donc que les cinq combinaisons suivantes 3°
Cette inégalité est symétrique en p et en q; ces deux nombres sont toujours entiers et supérieurs à 2; on a
symétriques
jeciproques3
donc
p>2
3
P
3
-> q 1
t1
1
3° Définition et description des cinq polyèdres réguliers sphériques.
q = 3, n =
quinaire,et le polygone élémen-
taire a trois côtés. Le polyèdre est donc formé de triangles équi-
=ou q= 5. 1
=3
latéraux assemblés cinq à cinq, dont les sommets sont des pôles d'axes quinaires et les. centres des pôles d'axes ternaires. Comme q est impair, les milieux des côtés sont, d'après le théo-
P=5
rème IV, les pôles -d'axes bi-
.7=3.
naires.
On a donc :
=
et par symétrie Maximum de p Minimum de q
1)q14
10 _Icosaèdre (p ---= 5
6
ce qui oblige, puisque q est entier, à prendre la valeur :
Minimum de p Maximum de q
réciproques
q > 2.
Le minimum de p et de q est donc 3 et le maximum 1 , de -1 et de -1 est -1. En prenant -1 = - 1 inegalite (2) donne : q
r--1)), symétriques
).
L'axe 1) est