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men de la série initiale montre qu'on a:
Dès lors les termes généraux sont évidemment : + cos (n zo= x [1 + cos + cos 2a + sin a + sin 2a 4- ... + sin (n +Y[ + cos (n = y [1 + cos a + cos 2a + + sin (n sin a + sin 2a + x[ cc
zo,,.
I) al,
+sin(nl)a_
z on
nx,
= ny.
I) a], I) a]
I) a].
Nous avons des sommes de sinus et de cosinus d'arcs en progression arithmétique. On peut donc simplifier les expressions ci-dessus en se servant des formules connues : =sina+sin2a+ sin31-1-
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oscu,i,ATioNs DES RESSORTS
Tili:ORIE DE LA STABILITÉ DES LOCOMOTIVÉS
a sin(n-1)-si nna 2
Ces valeurs sont donc indéfiniment croissantes avec n, c'est-à-dire avec le temps. On aura, comme nous l'avons dit plus haut, la période du mouvement, si on trouve un nombre entier ntel que z01,
et z'o s'annulent à la fois. On reconnaît tout de suite qu'il est impossible d'annuler simultanément les termes entre parenthèses. Mais zo et z'o seront nuls si on fait sin
na
sin -2 OU:
cos (n 1) -2 sin sin -2. 2
//cc sin (n I) - sin 72-
sin -2 2
sin -29
cc
- +y -->
Zon
2
I) 22- ± y sin (n-1)-
[T,. cos (n
y
zLez
,a
nmnl
V
a na sin (n 1) sin 7
X
2
ou bien
n
97cV
Pour trouver n et q, il n'y a qu'a convertir la quantité
2-
a sin-2
2,z-V
ml
?ta 9
'a-. [y cos (n
,
I)
x sin (n
1)71
sm-2 Il est à noter que ces formules ne sont valables que si sin S-1' est différent de zéro. Dans le cas contraire, l'exa2
4Tc,
.
2
sin-2
sin
1 etant la
minée
sin 1) - sin
= m1 V
longueur du rail, et V la vitesse en mètres par seconde. Le problème de la périodicité des oscillations revient donc à résoudre en nombres entiers l'équation indéter-
na,
sin
COS (n
q7)
q étant un nombre entier quelconque. nit Nous avons posé plus haut :
Et il vient Ill cos (n I)a2 - sin
na
(15)
S=I ± cos a + cos 2a + + cos (n 1)a_
en une fraction irréductible, dont le 'numérateur
sera la valeur de n. La période du mouvement est le temps mis à parcourir n rails et est, par suite, égale à
ni V
q
27,
c'est-à-dire égale à un multiple entier de la
période d'oscillation propre des ressorts. On 'peut résoudre graphiquement l'équation (15). Il