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BASES
D'UNE
THÉORIE
MÉCANIQUE
DE
L'ÉLECTRICITÉ
En multipliant la première équation par /V/T et intégrant pour tout l'espace, il vient :
Les /, g, h et leurs dérivées doivent être nuls à l'infini,, pour que
J
2
2
2
(A -+- B' + C ) d-. garde une valeur finie.
On pourra donc transformer l'intégrale précédente, enintégrant par parties : d I d,\ dxdydz , ,u ( IL = |Ç fdydz fAn \ dx dx \dx C
- ri.
+ 00
df^
Le terme intégré s'annule, et il reste, après avoir transformé de même toute l'intégrale,
\_\dxj ^ dxdy^~ dxdz
\\dxj
•\dy/'
T
\dzJ
|J
En ajoutant les deux autres équations similaires, on a :: dhy , /dh (dfl \dz -dy) 4 \dx
dz)
•
\
ce qui exige que chacun des carrés soit nul en chaque point de l'espace. L'intégrale de surface dh\
,
m
est aussi nulle, et par suite
(dh df\ {Tx-dz)
f fdx
j^(df_dji {dy dx
ù +P
+ gdy + hdz s'annule
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D UNE
THÉORIE
MÉCANIQUE
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L'ÉLECTRICITÉ
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aussi, le long d'un circuit fermé ; f, g, h sont les dérivées d'un potentiel <1>, d'ailleurs arbitraire. On peut donc satisfaire aux conditions du problème en remplaçant F, G, H par
dy
dz
Les valeurs de A, B, C n'en seront pas modifiées. Il n'y a donc qu'une seule solution pour A, B, C. Ce calcul a été fait pour le cas d'un seul courant. Mais on peut toujours y ramener le cas de plusieurs courants. Tout d'abord, on peut, sans rien changer aux équations de condition, remplacer un courant quelconque par une bobine de n courants, d'intensité n fois moindre, dont les circuits sont la continuation les uns des autres (fig. 35). Par ce moyen, on peut ramener tous les courants du système à n'avoir qu'une seule valeur de i. FIG. 35 Puis on peut, sans changer encore les équations de condition, relier deux courants séparés par deux fils contigus (fig. 36), de telle sorte que les deux courants séparés deviendront la continuation l'un de l'autre. De la sorte; on a consFIG. 36. titué un système d'un seul courant, pour lequel les équations de condition sont exactement les mêmes que pour le système de plusieurs courants. La même distribution des vecteurs de débit donnera, dans les deux systèmes, la valeur minima de l'énergie. Nous pouvons maintenant aborder le problème du mi-