Annales des Mines (1907, série 10, volume 12) [Image 102]

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COMPENSATION

D'UNE

TRIANGULATION COMPENSATION

nous l'obtenons en résolvant l'équation en x : J/,.) = O.

. Nous obtenons ainsi une certaine abscisse a?j, qui nous détermine un point M,. Coupons maintenant par le plan x = a?j. Nous formons dans la surface une nouvelle section C0C9, qui est tangente en M[ à une ligne de plus grande pente de S. Pour avoir le point M 2 , le plus bas de cette dernière ligne, nous écrirons :

c

D'I"NE

TRIANGULATION

201

£ 4. D'une forme particulière d'équations linéaires. — .Soit «, g, h des inconnues : considérons un système •d'équation de la forme :

) PÎKp + Kps+ - +K3a] = Up-f Kp + SKpg+ ...+ aKp (1)

Y

T

I > [K-Xx + K ).p« -f ... +

U

Y

a

Èl4 = >. + K).a +

a

BKX0 ••■

K

+ * X*-

■équation que nous écrirons pour abréger :

f (|H< y) =°-

) «Bfy = L> + SÇKpr (2)

Nous en déduisons une certaine valeur y 2 de l'ordonnée ; coupons maintenant par le plan y = y 2 , et ainsi de suite ; il est clair que les points M,, Mo, M3 , se rapprochent de plus en plus de celui pour lequel le minimum a lieu. Ce que nous venons de dire pour une fonction de deux quantités s'applique aux fonctions d'un nombre de quantités quelconques. Soit une fonction de variables indépendantes x, x', x", y, y', y", 3, z', 3", ... f {x,

x', x"

y, y', y"

'

XEK ). E =

Oi + 2ÇK ;x.

(On remplace, dans les diverses sommes, S par chacune ■des inconnues, à l'exception de celle qui figure dans le premier membre, et on ajoute les termes ainsi obtenus.) Nous ferons les hypothèses suivantes: 1° Les valeurs de K ne changent pas quand on permute les indices ; ainsi :

z, z, z" ...).

Nous voulons en trouver le minimum. Attribuons aux y et aux z des valeurs constantes yQ , y 0 ', y 0 ", ...,z 0 , z0', z 0", et faisons varier seulement les x. Calculons les valeurs x,\, x { ", pour lesquelles le minimum a lieu; puis laissons les 3 et les x constantes et faisons varier les y ; nous en déduirons pour ces dernières de nouvelles valeurs ?/.2 , y./, y2, ... Puis nous ferons varier seulement les z et en déduirons pour celles-ci des valeurs z 3 , z 3 ', z 3 ", . . . Nous pouvons alors réitérer les mêmes opérations, faire de nouveau varier les x seulement, puis les y et les z, -et ainsi de suite. Nous approcherons de plus en plus des valeurs cherchées.

2° Tous les coefficients sont positifs ou nuls. Si quelquesuns sont nuls, certaines variables manquent dans certaines équations ;

3° LasommedestermesindépendantsU a +U ? 4- ...+Ux est égale à zéro. On remarquera que le système (1) est indéterminé; car, si on ajoute toutes les équations membre à membre, on obtient une identité. Il y a donc une infinité de systèmes de solutions; si l'on en connaît un, on obtient tous les •autres en ajoutant la même constante à chaque inconnue. Cette constante peut être déterminée par la condition que l'une des variables ait une valeur donnée à l'avance. Nos équations peuvent se résoudre par une méthode