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OSCILLATIONS DES BENNES NON GUIDÉES
de son étude abstraite, parcourue sans entraves, la conception de sa réalisation à l'aide d'expériences physiquement possibles. Or les diverses fonctions f ou F (1) qu'il ' nous est loisible d'imaginer cesseraient de satisfaire à cette condition, si elles arrivaient à définir pour le mobile un abaissement vertical plus rapide que la loi des graves. Il est clair en effet que le fil ne saurait pousser de haut en bas le corps, si le calcul réclamait qu'il descendit plus vite que la pesanteur ne le sollicite à tomber librement. Cette loi spéciale constitue donc une sorte de frontière générale à la réalisation expérimentale de toutes celles que l'on voudra imaginer pour présiderai! développement du câble. Il semble dès lors s'attacher une utilité, particulière à son étude préalable. Comme d'ailleurs la valeur numérique delà gravité à Paris ^ = 9,81 ne présente par elle-même aucun intérêt propre (*), il conviendra d'envisager un déroulement uniformément varié d'accélération quelconque. Toutefois, pour mieux faire image, nous la rattacherons par la pensée à celle de la pesanteur au moyen d'un coefficient de réduction m de la gravité (**), en nous bornant pour plus de simplicité au type monôme : (13)
f=| g*.
D'après l'observation qui précède, rien ne nous empêchera, dans la recherche théorique, de faire varier m (*) Elle n'est même pas constante, et dépend, lorsque l'on entre dans le détail, de la latitude, l'altitude, l'heure, la configuration topographique, géologique, etc. (**) Ainsi que la machine d'Atwood nous en offre un exemple hien connu. Mais il convient de concevoir ici sa réalisation (aussi bien d'ailleurs que celle de toute autre loi), comme fournie par un mécanisme absolument quelconque. Le plus simple à imaginer serait sans doute la rotation uniforme d'un treuil spiraloïde dont les rayons varient, en chaque point du fil qui le recouvre, proportionnellement à la vitesse que l'on veut voir prendre à celui-ci en cet instant de son déroulement.
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de — OP à -r- GO ; sans toutefois perdre de vue que la condition de réalisation possible le confinerait au contraire entre les limites très resserrées 0 et 1 (*). § 2. — RACINES RÉELLES.
11. L'équation différentielle (4) devient par la substitution (13) : t
,„
d â <*
,
, , d%
dt-
,
dt
2 m
Pour nous procurer les deux intégrales particulières s et 6 qui nous sont nécessaires, nous essaierons le type fonctionnel : Avec cette hypothèse, la variable t disparait, en laissant seulement cette condition à remplir : p(p — 1 ) + 4p
-j
2
=
2 p 3 + 3p + "~ = °,
0,
V
m
laquelle nous fournit précisément deux valeurs pour l'exposant. Mais il peut se présenter à leur égard trois cas, dont les propriétés seront profondément différentes. Nous aurons, selon le signe de la quantité placée sous le radical, des racines réelles ou imaginaires, et comme transition une racine double. Ce signe ne changera pas d'ailleurs si nous multiplions par m~, ce qui donne : 9 m 2 — 8m, (*) Il est inutile d'avertir que cette fiction de pesanteur réduite, introduite ici uniquement en vue de définir l'allure cinématique du déroulement, n'a rien à démêler avec la pesanteur réelle motrice qui agit physiquement, toujours de la même manière, quel que soit m, pour régler les battements du pendule.