Révisions de la page | Historique de transcription | Annales des Mines (1905, série 10, volume 8)

Annales des Mines (1905, série 10, volume 8)

Page : Image 71

Révision de 8 févr. 2015 23:02:10, edited by Anonymes

136

DÉNIVELLATIONS DE LA VOIE

ET OSCILLATIONS DU MATÉRIEL DES CHEMINS DE FER

Substituons dans l'équation différentielle, il vient : , d2Y

I -4 d<*

P fa -f ni sin Y\ — 2\ a / 1

= -

P / 2m sin - m cos = P — cos Y sin a ■ = P. sin T

Y

Y —

P /« — «sinjA cos y — 2\ « / Pn sin y Y\

m cos

Y

T.

Pn sin

Or, y étant très petit, son cos est égal à 1 ; et sin • on a donc : -rrè2 = PY 1 ■ n = P-rmm 1 dt ' \a J ' \ am5— ) Id Y P [rrfi — an = 2 - X Y»» X m 5— dt 1 2 ' \ am 2

Or ym, c'est le déplacement linéaire des points A et B appuyés sur les ressorts et correspondant à Y ; appelons S ce déplacement. Le deuxième membre de la dernière équation peut s'écrire :

T

2I mX L

Ym

X -,

(

V™ 2 —

5

—\ est justement sous la forme : 8 X

%

or on sait que : Y»i =

8.

anx^ \ ) représente la flèche stam — an; tique du ressort fictif considéré. Donc le deuxième membre de l'équation différentielle représente le moment de deux ressorts fictifs qui auraient

(

—rl

une flèche statique égale à (^>0:0:0:0:0:0:0:1^j

S0lls

a

^ charge ~>

1

r

1J

différent de n, alors t doit être multiplié par le rapport ^ ;

5—r

am2

X7

P 2

le bras de levier étant m. Donc la loi du mouvement sera celle qui résulte de la remarque précédente, si m = «, c'est-à-dire si I est le même que si les deux poids étaient sur ressorts ; si m est

\ an

Maintenant considérons deux ressorts fictifs aux points A et B du fléau ; soient a la flèche statique de ces ressorts p sous la charge —■> Q la réaction de ces ressorts pour une flèche égale à

donc la réaction d'un ressort est égale à la flèche qu'il a prise multipliée par le rapport d'une réaction de ce ressort à la flèche correspondant à cette réaction. Reportons-nous au deuxième membre del'équation différentielle, mis sous la forme ci-dessus; dans ce deuxième membre :

Y

/ m2 N I — cos Y — n

137

= my ; on a : P

donc : 2t = 2rA V/m V g

et

(«est la flèche statique réelle des ressorts réels). m^ Quand m~ — an = o ou n = — i la valeur de a est a infinie ; l'équilibre est indifférent. Au delà, / est imaginaire, c'est-à-dire que l'équilibre est instable ; c 'est un fait très important pour bien comprendre ce genre d'oscillations.