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d'où
(1_ 1
(y)
(/ +y.)
1).
(1 1.'\
r
_cy+c,
ro f
(x)
V
C" étant une troisième constante.
2
ro
(H- (1) )
n1"--=. Donc X V
w°
2(X±) X
1 11(-1-N)
Yz
(Ir
(Y2z2)(r
105
DES CIIRONOMÈTRES ET DES MONTRES.
SPIRAL RÉGLANT
102
!.ro) +Cz ro
-Gy+ CH.
On voit d'abord que les constantes G' et C" sont nulles, car l'origine des coordonnées étant, après comme avant la déformation, au même point 0, on doit avoir et wo égaux à zéro y-----z= o. pour De plus, la constante G= 0, car la direction de l'axe OZ est o représenpour supposée invariable et
-z
terait la rotation de cet axe autour de l'axe des x.
Il est une remarque à faire, c'est que, d'après la manière
dont les constantes C. G' et G" ont été obtenues, je les ai supposées indépendantes de x, et cela doit être. En effet, dans la portion du solide considérée, l'intervalle par rapport à x est un infiniment petit du premier ordre: Par conséquent, si, dans le corps déformé, mais limité dans cet intervalle, on considérait une suite de points situés sur une même parallèle à l'axe OX et pour lesquels x seul varierait, y et z étant constants, tous ces points, à un infiniment petit du second ordre près, pourraient être regardés comme correspondant à un même petit arc de cercle élémentaire tel que PS. Dès lors, le points étant, à un infiniment petit du second ordre près, le même pour tous, les valeurs de y, et de wo sont aussi les mêmes pour tous les points, qui no diffèrent que par Px, et par suite sont indépendantes de fr.
Je vais, de plus, maintenant vérifier que les valeurs de u, y, w, qui résultent de l'analyse précédente, satisfont à toutes les conditions du problème. Et d'abord, en reportant les valeurs de r, et w dans (V), (VI) et (VII), on a pour ces valeurs
rL0)
71
le'
+
1
e)
(y'
( + p-)
ro
Or je dis qu'en décomposant le corps en une série de tranches infiniment minces par des sections transversales normales à la ligne neutre ; puis déterminant dans chaque tranche les nouvelles positions de tous les points par les formules (X); enfin, appliquant aux extrémités de chacune d'elles les forces qui résulteront de ces mêmes formules (X), chacune de ces tranches sera en équilibre. Premièrement, les équations aux différences partielles du second ordre (I) seront vérifiées. En effet, en substituant les valeurs (X) de u, y et w dans les trois équations (I), celles-ci sont identiquement satisfaites.
Voyons maintenant les _conditions relatives à la surface du
corps. Pour cela, cherchons les valeurs des forces N N N T T T, Or on sait déjà que, d'après les expressions ( X), les composantes N3, N3 et T, sont nulles clans tous les points du solide. Cherchons les autres composantes.
En substituant, à cet effet, (X) dans (IV) et dans (lu), on trouve de suite
(XI)
puis
y.
r
1
ro
).
Il n'y aurait donc aucune force élastique sur tout élément plan perpendiculaire à l'axe des y et à l'axe des z, et quant à un élément perpendiculaire à l'axe des w, les forces élastiques se réduiraient à une seule parallèle à la ligne neutre et proportionnelle à la coordonnée parallèle au plan de flexion, ainsi qu'a la quantité -r1
r10.
Sur toute la surface extérieure latérale du fil, les formules donnent, comme cela doit être, des forces nulles. En effet, ce