Annales des Mines (1865, série 6, volume 7) [Image 38]

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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE,

ces intégrales étant prises pour toute la surface du corps. Remarque. Avant d'aller plus loin, nous ferons observer, 1° que si p. renferme un terme constant, il disparaît dans ces intégrales, ce qui est évident ; 2° que le terme de po dépendant de la pesanteur d'après la formule (d) ne donnera dans les P, que les composantes du poids du fluide déplacé prises en sens inverse, conformément au principe d'Archimède, et qu'il n'aura aucune influence dans les Q. 4. Équations du mouvement du corps. Soient M la masse du corps. gu la projection de la gravité sur l'axe Ou. la composante suivant le même axe des force S qui agissent sur le corps, autres que la pesanteur et les pressions. Les équations du mouvement du corps, parallèlement aux trois axes, seront (*) (f) M

da x

= x+

nya,)+P +Ivz,

(n,a,

da

=

da, 111

dt- =

Si nous supposons maintenant que les axes coordonnés dont l'orientation dans les corps est restée arbitraire jusqu'ici, soient les axes principaux d'inertie de ce corps, on aura pour les équations du mouvement autour de son centre de gravité

+(

nyn,= Q,

dn Qrx, I dt

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En désignant par I. le moment d'inertie du corps autour de l'axe Ou, et par Q. le moment par rapport au même axe, des forces, autres que les pressions, qui agissent sur le corps. II. Équations du mouvement du liquide et du corps en coordonnées curvilignes.

5. Équations du mouvement du liquide.

Soient, en désignant par p, p,, p,, trois constantes arbitraires,

P = f(x,Y,z),

Pi = (x)Y,e),

f2(x,y,z),

les équations de trois séries de surfaces orthogonales (*) qui, par leurs intersections, nous serviront à définir tous les points de l'espace. La première de ces équations sera censée représenter la surface du corps, lorsque p prendra la valeur particulière po, et donnera les points situés à l'infini pour p

11 nous arrivera souvent, pour abréger de représenter

par p, ou pi l'un quelconque des paramètres arbitraires p, p, p que nous allons maintenant substituer aux coordonnées rectilignes x, y, z. Posant

(clp,\

d pi

V( dx j

)

(dpi2 dz

nous aurons, au lieu de la seconde des équations (a') , et des. équations (6') et (e'), les suivantes (ddyp)2

hi,

(()cf,dd

(-cctipy

(*)

dt

(*) Voir mon Traité de cinématique pure, page 9.7.4, en ayant .égard au changement de notations et de convention sur le sigg de la rotation.

() Ces équations doivent satisfaire aux conditions (4) et (4') des

notes.

(") Formule (II) des notes. TOME vil , 1865.