Annales des Mines (1865, série 6, volume 7) [Image 44]

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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

laquelle elle repose est satisfaite ; et dans celui qui nous occupe, on ne devra la considérer que comme donnant une approximation, et seulement encore pour de très-faibles vitesses du mobile. Dans le cas contraire, on devra se contenter des formules approximatives ou empiriques que l'on donne dans les ouvrages de mécanique appliquée. 16. _Hypothèse d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. Nous ne considérerons que le cas ou la rotation a lieu autour d'une parallèle à l'un des axes principaux Ox du corps passant par son centre de gravité. Soient

la distance du point 0 à l'axe de rotation. a l'angle constant qu'elle forme avec Oy. I =_-L + Ml le moment d'inertie du Corps autour de l'axe I

fixe.

Qr=-Q1,H P 1 sin Ï

P.,1ces Ï, le moment total par rapport à cet axe, des forces extérieures agissant sur le corps, y compris son poids modifié conformément au principe d'Archimède, et que nous comprendrons dans les P', Q' pour simplifier l'écriture.

MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.

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Ajoutant membre à membre en trois équations, multipliées respectivement par lsin a, 1 cos a, et 1, et posant P,)1 sin ô cos ô = p cos'

(cc,

(m, On aura (16)

(I

i)

dn

pn

Il suit de là que l'effet produit par le fluide sur le corps est le même que celui qui résulterait de l'action d'une force perpendiculaire au plan passant par son centre de gravité

et par l'axe, à une distance invariable de ce dernier, et représentée par la somme de deux termes dont l'un est proportionnel à l'accélération angulaire et l'autre au carré de la vitesse angulaire. M. Didion a été conduit à une forme

analogue, à une constante près, pour représenter la résistance de l'air sur les plateaux soumis à ses expériences (Poncelet, introduction à la mécanique industrielle, p. 584). L'équation (16) est notamment applicable au mouvement du pendule dans un liquide, en supposant que l'axe de ro-

tation est horizontal, et que Q représente le moment du poids du corps modifié conformément au principe d'Archi-

On a ny= o , n,, =-- o,

n, ay,--_-n1 sin 'ô, a=

ni cos ô, a=o,.

La seconde et la troisième des équations (14), et la première des équations (15), les seules que nous ayons à considérer, se réduisent à (M7- ' m )1 sin ô (111

(I,

m) I cos ô

dn

n21 cos Ô(M

dt dt

&I sin ô (M '

n'l sin S nos

Q'.

a) = P'

mède, par rapport à cet axe. Dans le cas de petites oscillations on peut l'intégrer par approximation, et nous renverrons pour cet objet à une note sur le mouvement du pendule simple dans un milieu offrant une résistance proportionnelle au carré de la vitesse, et que nous avons fait Insérer dans les annales de mathématiques (186o) . Si le corps est assujetti à tourner autour d'un axe fixe, incliné d'une manière quelconque sur les axes coordonnés, Ox, Oy, Oz, on arrive, en suivant une marche semblable à la précédente, à une équation de même forme que l'équation (16), mais dont les coefficients sont plus compliqués; et la résistance de l'air se traduit de la même manière que ci-dessus.