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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.
MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.
8I
et désignons par IV, la normale en un point de la surface pi; l'angle qu'elle forme avec l'axe en sera donné par la formule
cos ( Ni u)=d o
(3)
NOTES.
'
d'on il suit que pour que les surfaces pi et pi se coupent à angle
Principes fondamentaux de la théorie des coordonnées curvilignes.
droit, il faut que (é)
dpi
dpj
dr?;
dy cl y ±dzdz °.
dx (lx
Appelons ds, l'élément de la. normale à la surface pi; le travail élémentaire de la force hi étant égal à dpi, il vient
i. La valeur de
(dE\'
( dE\'
(5)
àlF = F étant une fonction de x, y, z, est indépendante, pour un même point de l'espace, du choix des axes coordonnés. En effet, la différencielle totale ,
,
,
,
,
dz
dy
On voit ainsi qu'un élément d'arc tracé sur la surface pi a pour expression :
dc,' h,' ;
dPi2 que
zdF=
do, do
hitt,
'
peut être considérée comme représentant le travail virtuel élémen-
taire de la force à1F normale à la surface F, et comme la valeur de dl est indépendante du choix des coordonnées, il, en est de même de la force ou de A.F'.
s. Propriétès générales des coordonnées curvilignes.
représente un élément superficiel de la même surface ; et enfin qu'un volume infiniment petit peut être défini par h k, '2
L'équation (5) donne
du
Soient, en désignant par p, p p, trois constantes arbitraires: (i)
P=f (X,
Z), Pi=
z), P2= f,(X,YIZ),
(x,
les équations de trois séries de surfaces orthogonales qui, par leurs intersections, peuvent servir à définir tous les points de l'espace. Pour abréger, nous représenterons par u l'une quelconque des
dp do
du
=
,
mule de transformation dpi
du (
dx m Vl y
( -1- \fi- .j
do,
de l'angle que la h; du normale à la surface pi fait avec l'axe des u ; on a donc cette for-
Pie Pc Posons : (s)
dpi;
or--, n est autre chose que le cosinus
coordonnées x, y, z, par pi ou pi l'un ou l'autre des paramètres P
du
= ,, du api
et les formules (2) et (4) deviennent raspectivement TOm E VII, i865.
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