Annales des Mines (1870, série 6, volume 17) [Image 147]

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DE FONDS PLATS ET BOMBÉS.

CALCUL DES ÉPAISSEURS

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par deux surfaces de révolution équidistantes et soumises

chacune à une pression uniforme. Soient: CALCUL DES ÉPAISSEURS DE FONDS PLATS ET BOMBÉS DES CHAUDIÈRES CYLINDRIQUES.

Par M. H. RÉSAL, ingénieur des mines.

s. Le problème relatif à l'équilibre d'élasticité d'une

plaque mince, plane ou bombée, dont chacune des faces est soumise à une pression uniformément répartie sur son étendue, a été jusqu'ici considéré, sinon comme insoluble, du moins comme présentant de très-grandes difficultés. M. Lamé a toutefois résolu la question dans ses Leçons sur les coordonnées curvilignes, non cependant sans s' alfran-

chic d'une hypothèse étrangère à la théorie ulathématique de l'élasticité., J'ai commencé il y a, cinq ou six ans l'étude relative aux conditions de résistance des fonds plats ou bombés des chaudières cylindriques; d'autres occupations m'ont obligé à ajourner la continuation de ce travail que je n'ai été conduit à terminer qu'à la suite de l'explosion, à Besançon, d'un appareil à fond plat à rectifier l'alcool, et qui a donné lieu à une épouvantable catastrophe. Dans ce mémoire, je vais exposer les résultats de mes recherches basées tout simplement sur les hypothèses de la théorie de la résistance des matériaux, qui d'ailleurs doit conduire aux mêmes résultats que lâ théorie mathématique de l'élasticité, par extension de ce que MM. Poisson et de Saint-Venant ont démontré relativement aux prismes d'une faible section.

2. Équilibre d' élasticité d'une enveloppe très-mince limitée

E le coefficient d'élasticité de la matière supposée homogène ;

e l'épaisseur de l'enveloppe ;

p la différence entre les pressions intérieures et extérieures, la première étant censée supérieure à l'autre. En raison de la petitesse supposée de e, on peut admettre sans commettre d'erreur appréciable, que l'enveloppe est uniquement soumise à l'action de la pression p répartie sur la surface moyenne ou équidistante des deux surfaceslimites Ox (fig. i) l'axe de révolution, censé vertical pour fixer

les idées; 0 le sommet de la surface moyenne ; OaÏ, Oarbt deux sections méridiennes de cette surface, faisant entre elles un angle infiniment petit de; 0/43 la section méridienne dont le plan divise en deux parties égales l'angle de, Oy la tangente en 0 à cette section, xy les coordonnées du point a parallèles à Ox et 0g; x+ dx, y dy celles du point du même méridien infiniment voisin de a ; ds ;

p l'angle al0 formé avec Ox par la normale en a. Cos p les rayons de courbure de la courbe méridienne au point a lorsque l'enveloppe est à l'état naturel, et qu'elle est déformée sous l'action de la pression p. On a évidemment: (1)

dx= ds sin? , dy

dscosT.

Nous désignerons par la caractéristique les déplacements

résultants de l'action de la pression p sur l'enveloppe et nous négligerons comme on le fait d'habitude, les puissances