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2,2
RÉSISTANCE DU RESSORT A BOUDIN.
ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ.
analytique, la solution du problème proposé,
considéré
dans toute sa généralité, est complète, mais elle ne conduit à aucun résultat général qui puisse permette de détermi.
ner analytiquement la section que doit avoir un ressort pour qu'il puisse résister à une charge maximum donnée, même en supposant a ou a très-petit comme cela a lieu pour les machines à pointes, à clous, etc., à moins toutefois que l'on ne considère le cas où la déformation est très-
c'est celui qui se présente le plus souvent et que
faible ;
nous allons maintenant examiner. Posons
- ces deux résultats sont conformes à ceux de l'observation. (Voir la note 1.)
Désignons Calcul de la section d'un ressort a boudin. respectivement par I', r les limites maximum des efforts
élastiques longitudinal et transverse que l'on veut développer dans le ressort.
Il est facile de voir, en faisant entrer en ligne de compte la dilatation de la fibre moyenne, que la tension élastique
maximum, estimée parallèlement à la tangente à cette fibre, est
sin a'
Sa = -
Q
la formule (7) donne, en négligeant les puissances de cette différence supérieures à la première, R1 cos a (K' cos' a
(12) Sa
K sin' a)
(d)
K sin' a
(15)
2
P
vs
>
Q (r
T
QR sin a'
K sin' a on peut
Or, K' étant supérieur à
5
tang2
4 QR tang a'
L'élimination de a' entre les équations (7) et (17) donnera une équation en r dont on devra prendre la plus petite racine positive, qui ne sera toutefois admissible qu'autant qu'elle satisfera à la condition
sin'oc); 4
).
l'Cr V 1 + talle a'
Les termes en K, K' étant de l'ordre de al,
5R2 tang (K'
(
1-3
écrire tout simplement
R' R
4 Ri) sin cc'
ment peu de R et peut être remplacé par cette dernière longueur, ce qui arrive plus ou moins en compensation de l'erreur résultant de la précédente hypothèse, il vient
R K' cos' a K sin'c< = R cos' a
Se= 11.2 (K' cos' cos a
PO
En supposant l'égalité, remarquant que r peut généralement être négligé devant 4R', que R' diffère ordinaire-
cos a
cos' .2 + 5R' sin a (K' cos' a
--) r,
+E
--5K)
La relation (6) devient de la même manière
R,_
iur
valeur qui doit être au plus égale à F. On a donc, en ayant égard à la formule i
cos' a + 5R' sine (fi' cos' a
273
K)
, on aura toujours R' <n. De plus si l'angle a est très-petit, il en sera de même de
tang (*) Il serait plus exact de remplacer l'inégalité (i6) par celle qui résulte de la formule établie par M. de Saint-venant, et qui fait connaître la valeur de la plus grande dilatation.