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PLANIMÈTRE DE AMSLER. PLANIMÈTRE DE AMSLER.
tions élémentaires a été donnée par MM. Piccard et Cue-
noud, et reproduite dans les Annales du conservatoire, Elle peut être abrégée, sans lui rien ôter de sa clarté, en faisant usage de l'algorithme du calcul infinitésimal. Cette théorie, comme celle de tous les instruments du même
genre, a pour point de départ les principes
suivants:
une roulette s'appuie sur une feuille de papier plane par un point de sa circonférence, ou plutôt par une génératrice très-courte de son contour cylindrique; elle est
montée sur un axe perpendiculaire à son plan, autour duquel elle est libre de tourner, et son centre est entraîné dans le mouvement de cet axe qui se déplace dans un plan parallèle à celui du papier, de telle sorte que ce plan et celui de la roulette restent toujours perpendiculaires l'un sur l'autre. Le frottement du papier à la circonférence de la roulette fait tourner celle-ci autour de son axe, de manière qu'il n'y ait pas glissement sur le papier dans le plan de la roulette, qui peut pivoter autour du rayon perpendiculaire au papier aboutissant au point de contact, en raison de la variation que subit la direction de son axe et glisser dans le sens parallèle à ce même axe. L'arc décrit par la circonférence de la roulette, pour un déplacement infiniment petit du point de contact ou d'appui sur le papier, est donc égal à la projection dé ce déplacement sur le plan de la roulette. A cette projection on peut d'ailleurs substituer la somme algébrique de deux ou plusieurs déplacements composants, dont le déplacement réel serait la résultante, et supposer constante, pendant qu'a lieu le déplacement, la direction du plan de la roulette, ce qui revient à négliger les infiniment petits du second ordre visà-vis de ceux du premier ordre conservés dans le calcul. Ceci posé, représentons (fig. 7) le planimètre polaire par les axes PC et ACD des deux tiges dont il est formé, qui sont articulées en C à angle variable et dont la seconde est perpendiculaire au plan de la roulette représentée par
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HW; celle-ci s'appuie en D sur le plan de la figure, P est le pôle fixe, A la pointe du style auquel on fait parcourir une
courbe quelconque AMN, fermée ou non, mais dont les deux extrémités A et N, quand elle n'est point fermée, satisfont à la condition d'être situées à égale distance du pôle P.
Tandis que le style A décrit le premier élément Aa de la courbe donnée, le rayon vecteur PA, que nous désignerons par p, vient occuper la position Pa en recevant un accroissement infiniment petit dp , et engendre le triangle APa. Soit Aa ds, p. l'angle que l'élément ds, c'est-à-dire la tangente à la courbe en A, forme avec la
direction AP du rayon vecteur, l'aire du triangle APa est exprimée par la base ds multipliée par la moitié de sa hauteur qui est égale à p sin v., c'est-à-dire par le produit p sin ilds. Le déplacement Aa du style peut être considéré comme résultant de deux déplacements, l'un perpendiculaire au rayon vecteur p et égal en étendue à l'élément de la circonférence AS décrite du centre P avec le rayon PA, intercepté par les côtés de l'angle infiniment petit APa et représenté dans la figure par Aa', l'autre dirigé
suivant la direction du rayon vecteur Pa, égal à dp et représenté dans la figure par da. Le déplacement du point de contact D de la roulette et du plan de la figure, correspondant à l'élément Aa = ds parcouru par le style du planimètre, peut être aussi considéré comme résultant des
deux déplacements successifs que subirait ce point de contact, si le style du planimètre parcourait successivement les deux chemins infiniment petits Aa' et a'a qui ont pour résultant le chemin Aa ds. Considérons d'abord le déplacement du style suivant Ad perpendiculaire à PA. Dans ce déplacement, le rayon vecteur p demeure invariable en grandeur, et par conséquent aussi le triangle PAC ; le planimètre tourne tout d'une pièce, sans se déformer, autour du pôle P et le point de