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PLANIMÈTRE DE AMSLER.
PLANIMÈTRE DE A.MSLER.
contact D de la roulette et du papier décrit un élément De de la circonférence de cercle qui a pour rayon PD et qui soustend un angle au centre DPe égal à APa' = APa. Or ce dernier angle est égal à
Aa'Aa sin Ana' Aa =_- ds ; sin Aaa' ne diffère de sin p. .que d'une quantité
infiniment petite du premier ordre, dont le produit par ds sera infiniment, petit du second ordre. On a donc, en s'en tenant aux infiniment petits du premier ordre, l'angle APa' -= APa =
et l'angle ePD égal aussi à
ds sin
ds sin P,
p.
, GOEC
montre dont la face externe de la roulette, celle qui est à l'opposé de l'axe projeté suivant DA, serait le cadran ; ils se-
affectés du signe +, quand le déplacement effectif du point de contact D se trouvera du côté opposé au pôle P, ront ainsi
par rapport à la droite DCA et du signe , quand ce dépla-
cement et le pôle P seront du même côté, ainsi que cela a lieu, dans le cas que la figure représente. Cela revient à multiplier dans tous les cas l'étendue du déplacement De du point de contact, par le cosinus de l'angle compris entre ce déplacement De pris clans le sens où il a lieu de D vers e, et la partie de la trace DR 'du plan de la roulette sur le plan de la figure qui est par rapport à l'axe DA de la roulette du côté opposé au pôle P. Moyennant cette convention, l'arc décrit à la circonférence de la roulette pris avec son signe sera toujours égal au produit de De par le co-
sinus du supplément de l'angle PDA ou par
De
.
sin p. ds cos PDA.
sin p. as.
P
L'angle eDR' est d'ailleurs égal à l'angle PDA, puisque les côtés de ces deux angles sont respectivement perpendiculaires l'un sur l'autre ; la projection du déplacement De sur le plan de la roulette est donc égale à PD
cos PDA,
c'est-à-dire à PD
PD
.285
sin (As cos PDA.
Les arcs décrits à la circonférence de la roulette doivent être considérés comme positifs ou négatifs, suivant
En abaissant du pôle P une perpendiculaire PQ sur la ligne DCA, on a: PD cos PDA = DQ = CD 4- PC cos PCA,
désignons par r la longueur constante PC, par 1 la longueur CD et par L la longueur CA (r, 1 et L sont données par les dimensions même de l'instrument). L'expression cherchée
de l'are décrit par la circonférence de la roulette devient sin p. rls
(1+ ; cos PCA),
le sens de la rotation, qui a lieu de manière que l'extrémité du rayon aboutissant au point de contact D de la roulette et du plan marche en sens inverse de celui dans lequel se déplace le point de contact sur le papier. Nous considérerons les arcs comme positifs ou négatifs suivant que la rotation aura lieu dans le sens des aiguilles d'une
Or le triangle PGA donne : 7.2 + 1,2
cos PCA =
2Lr
Si donc nous désignons par e l'arc infiniment petit, décrit.