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PLANIMÈTRE DE AMUI.
PLANIMÈTRE DE AMSLEU.
Dans laquelle
est l'arc fini total décrit à la circonférence de la roulette, et qui sera lû sur la circonférence de la roulette et celle du disque, dont les divisions accusent le nombre de révolutions complètes de la roulette. E7 est la somme des triangles infiniment petits qui ont leur sommet commun au pôle P, et pour bases les éléments successifs de la courbe AMN parcourue par le style. Il est essentiel de remarquer que l'aire de chaque triangle élé-
mentaire exprimée dans le calcul par -1,p sin p.ds suit le signe de sin L'angle étant l'angle compris entre la direction de l'élément ds, dans, le sens où il est parcouru par le style et celle du rayon vecteur allant du pôle à la courbe, ou son prolongement au delà de la courbe parcourue par le style, 'sin [./.. est nul pour o et p. =- n. Nous avons considéré l'angle v. et son sinus comme positifs, lorsque l'ouverture de l'angle PAx est tournée vers le point d'articulation C des tiges PC et PA. Nous devons par conséquent considérer cet angle et son sinus comme négatifs, quand cet angle aura son ouverture vers le côté de la ligne
PA opposé à la région où est situé le point C; la valeur de l'angle demeurant ainsi toujours comprise entre o et + 7r, ou o et Ceci expliqué, si l'on mène le rayon vecteur PT tangent à la courbe parcourue par le style, les aires des triangles infiniment petits décrits par le rayon vecteur, pendant que
le style de l'instrument parcourt la partie de la courbe AMT dans le sens marqué par la flèche xy seront toutes positives ; leurs valeurs numériques s'ajouteront et leur somme sera l'expression de l'aire comprise dans l'angle APT
et limitée par les deux rayons vecteurs PA, PT et par le contour curviligne ou polygonal AMT. A partir de la position PT , tandis que le style parcourt l'arc TN, le rayon vecteur rétrograde , l'angle p., après avoir passé par les valeurs respectives 7c et o, devient négatif, ainsi
que les éléments triangulaires 7, dont les valeurs 'de
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même signe s'ajoutant entre elles donnent une somme affectée du signe, qui est l'expression de l'aire comprise dans l'angle TPN et limitée par la courbe TN, qui, dans l'ensemble Io., doit être numériquement retranchée de l'aire comprise dans l'angle ApT, et limitée par la courbe AMT.
1c est donc l'expression de la surface limitée par les rayons vecteurs égaux PA, PN et par le contour curviligne ou polygonal AMTN, surface qui se compose du secteur circulaire APN et de l'aire comprise dans le contour formé par l'arc de cercle AN et la courbe AMTN. Le deuxième terme du second.membre de l'équation (A) est le produit du facteur constant r2 + 2 L/ par Ea. Ce dernier facteur est manifestement l'angle APN compris entre les deux
rayons vecteurs égaux aboutissant au point de départ et au point d'arrivée du style de l'instrument, chacun des angles infiniment petits oc qui entrent clans la somme algé-
brique El étant affecté du même signe que le triangle infinitésimal auquel il appartient qui est, comme nous venons de l'expliquer, celui de l'angle p. et de sin p.. D'après cette dernière observation, la somme algébrique 'l'a serait nulle,
si, au lieu d'arrêter le style au point N, on le ramenait, par continuation du mouvement rétrograde qui a commencé
à la position extrême PT du rayon vecteur, au point de départ A, en lui faisant parcourir l'arc de circonférence NA; l'équation (A) se réduirait alors à
L/ E -=
laquelle EG- ne représenterait que la surface enfermée dans le contour fermé par l'arc de cercle AN et la courbe AMTN , l'aire du secteur circulaire PAN q- ui se dans
trouve comprise dans la somme Io-, quand le style de l'instrument est arrêté en N, disparaissant par le fait du mouvement rétrograde du style de N en A et du rayon vecteur PN à la position initiale PA. La même chose aura lieu et la