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PLANIMÈTRE 12E AMSLER.
PLANIMÈTRE DE AMSLER.
somme El sera nulle toutes les fois que le style reviendra à son point de départ, après avoir décrit un contour fermé quelconque, pourvu que le pôle P soit situé à l'extérieur de ce contour. L'équation se réduit alors, dans tous les cas, à LE E: = Ea., dans laquelle /7 exprime l'aire limitée par le contour fermé que ce style a décrit et /e la longueur dé, veloppée de l'arc décrit à la circonférence de la roulette, qui peut comprendre plusieurs circonférences entières. Cet arc total est donc alors proportionnel à l'aire limitée par le contour curviligne, et peut lui servir de mesure. Mais si le pôle fixe P est situé dans la surface circon-
scrite par la courbe fermée, la somme /a, au lieu d'être égale à o, serait évidemment égale à quatre angles droits, c'est-à-dire au rapport 2 7; de la circonférence au rayon, et l'équation (A) deviendrait
LyE=_y
7, (L2 +
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et la surface totale Io- se composera de celle du cercle entier de rayon PA et de celle qui est comprise dans l'espace limité par l'arc AN et la courbe AMTN. Cette surface totale n'est plus alors proportionnelle à l'arc total décrit par la circonférence de la roulette ; il faut, pour l'obtenir, ajouter au produit LEs, l'aire Tc (L2 + r2 ± 2 L/) du cercle 27r;
qui a pour rayon VU+ r2 + 2 Li, aire qui dépend des seules dimensions L, r et l de l'instrument. Exemple. - Qu'on fasse décrire au style de l'instrument une circonférence d'un rayon quelconque P ayant son centre au pôle, l'aire du cercle limitée par la courbe sera p étant constant. Or, dans ce cas, p. reste aussi constant et égal à un droit; sin 1.),.= e. La valeur de l'arc e décrit par la circonférence de la roulette pour un élément ds de la circonférence de rayon p se réduit donc à:
2L1),
E=
pris
2L
1d5 2 p
X
L2
/.'
2L/
qui revient à
Ia =
et comme p est constant on a l'intégrale 2±
(12
2L1),
(P
dans laquelle le deuxième terme du second membre est une quantité constante, pour un instrument donné, qu'il faut ajouter au produit de la longueur L multiplié par l'arc décrit à la circonférence de la roulette, pour obtenir l'aire de la surface limitée par la courbe fermée que le style a décrite. Cette quantité constante n'est autre chose que la r2 + 2L1. Supsurface du cercle dont le rayon est VL2 posons par exemple que, dans la fig. (1), le style, après avoir parcouru la Courbe AMTN, revienne à son point de départ A, non en rétrogradant de\ N en A, suivant l'arc NA, mais en suivant par un mouvement direct tout le reste de la circonférence de rayon PN = PA. Le pôle P sera à l'intérieur
du périmètre fermé parcouru par le style. El sera égal à
2
1,2
+ 92 ± Lp
L,
ds =, rP2
21,1\
}
1,2
+
+
0
d'où [p2
L
(1,2
+
L 1)] ,
et
2+
(L2 + 22 ±
conformément à la formule générale.
Second' exemple.-Reportons-nous à la fig. 7 et imaginons que le style A décrive la circonférence de cercle ,dont le centre est au point d'articulation C et le rayon CA =_- L, il est évident que la tige CA tournera autour de son point C, qui restera fixe pendant cette rotation, et cela quelle