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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
'mule (6) n'en demeure pas :moins applicable. On sait, 'en
D'autre part, en introduisant la-variable auxiliaire G, projection de la distance ), sur le plan xY, on a
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effet, que c'est ainsi que s'exprime, en coordonnées polaires, l'élément superficiel d'un plan.
L'équation (6) donne immédiatement la surface totale d'un cercle de diamètre D et celle d'une sphère de même diamètre ; on a, en effet, dans le premier cas, D ,+9: -.27c
S=
Cad =
TED2
Gcos;..t,
Y= Gsin p.,
G' = X'
suffirait, pour obtenir l'équation de la sphère en coordonnées (),, p., Z), d'éliminer, entre ces six équations, les cinq variables x, y, z, Y, G. Mais il est préférable de recourir aux systèmes (x,y,z) (),, z) et d'employer la formule ;géné-
rale du n° 8, en y faisant
et clans le second
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= 0, ce qui donne
^27t.
Xadp. = arDI.
[ (dx)' (dY)2 -1
(dx dy
o
dv.
o. Élément superficiel de la sphère en coordonnées plaLorsque l'axe du système pianinisphériques obliques.
sphérique passe par le centre d'une sphère donnée, les -courbes = const. i= const. constituent un système orthogonal de méridiens et de parallèles. Supposons maintenant que cet axe fasse avec la direction du diamètre un angle 0 différent de zéro ; nous obtiendrons un système de coordonnées obliques. Il n'est pas sans intérêt de rechercher l'expression de de dans ce système. Introduisons à titre de coordonnées auxiliaires deux systèmes (x, y, z) (x, Y, Z) respectivement formés au moyen de l'axe MZ, de la normale Mz, de deux droites MY, My perpendiculaires, l'une à MZ, l'autre à -3,1z et 'toutes deux situées dans le plan 'MZz, et enfin d'une drdite Mx perpendiculaire à ce plan et servant d'axe des x commun aux deux systèmes.
On passera de l'un à l'autre au moyen des équations y = Y cos0
z = Ysin0
L'équation de la sphère, en coordonnées
Zcos0.
d7J.)
v7-5)
L dp.)
dxdt.L.
dv.
Il faut maintenant, à l'aide des équations posées plus haut, exprimer x et y en fonctions de ) et de p.. ::,En éliminant Z et G, on obtient tout d'abord (7)
z sin 0 =Y,
-y cos 0
r.sin p. Y cos p. =:o., z2.
w`2-
On a ensuite, en éliminant Y et z, x sin p.
y cos 0 coF- p.=
X'
D
sin 0 cos
De ces équations on déduit sans difficulté les paramètres différentiels
dx--de, dx dy dydz 21 d), '
d
on a, d'autre part, 7.1-c =--
de là, toutes réductions faites, l'expression suivante de do-,
p., z) , est da
-X sin 0 sin p.
cos 0 + D
--si n'0 cos' p.
ledp. X'
D'
sin' 0 cos'