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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
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Cette formule donne, lorsque 0 s'évanouit, do-
pour 0
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
D'autre part, l'équation de la surface donne
- , on a
sin' p. cos'
2
V
1
dX d.
da = D sin' p.
z
D' sin' p.
11. -.Elément superficiel du cylindre en coordonnées plané1° Considérons un cylindre de rayon a, et sphériques.
supposons d'abord que l'axe Mz du système planisphérique coïncide avec la normale. L'équation du cylindre en coor-
données (x, y, z), en prenant pour plan des xz la section normale qui contient Mz, est
Xedp.
VX'
on en déduit, en remplaçant x par 0,2
y-
d),= a
)cos' p. dz z sin' p.' d
2,2
a
z2) sin ic.os p. z sin' p.
aXdXdp.
z sin' p.
= O.
- -_-- 2a \A'
z' cos i/
sin p.,
d'où, en supprimant le facteur 0,2 z2 commun aux deux membres et élevant ensuite au carré
LIA
z' cosy.,
>Au moyen de ces valeurs, l'équation (5) devient da
2ay 4-
Si l'on remplace, dans cette équation, x par et y par 0,2 z2 sin p., on aura
4e' sin' p..
X dzCia2 sin v. cos p..
.
dv.
par suite, l'équation (5) deviendra
De là dz
p.
a'
2° Faisons maintenant coïncider l'axe Mz du système pla-
dz
=0.
20Z + X' COS'
sin' p. cos
nisphérique avec l'une des arêtes du cylindre. En prenant pour axe des y la normale My, l'équation du cylindre sera
De là on tire
o;
a'
on a donc, en définitive,
X' - z'
2az
p.
sin' p.
dcr=
L'emploi des formules précédentes comporte certaines restrictions; en effet, s'il arrive, par la nature de la question à traiter, que l'on doive faire varier X entre les limites o et D, afin d'embrasser la totalité de la sphère, l'angle (si 0 n'est pas nul) devra, pour que do- ne devienne pas imaginaire, varier entre des limites qui dépendront à la fois de et de O; or, pour chacune des valeurs extrêmes de l'angle p., do. sera infini, et cette circonstance peut, dans certains cas, mettre en défaut les équations du problème.
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=
2a)esd
- Cette formule peut s'obtenir presque sans calcul en obser-
vant que l'élément superficiel do- a pour projection sur le plan xy un élément linéaire dont la mesure est 2adv.; donc z' = 2a (0,4.; il est clair, d'ailleurs, que d),