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ne dépend que de z
dz,
EMPLOI DES COORDONNÉES cuRvirIGNEs:.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES. ,
et nullement de: ),; on a donc
= ; d'où la valeur de do-. En éliminant z, on aura
l'origine étant sur la surface même, peut généralement s'écrire ainsi dz
dz
da. =
2a dX
x
z
ez ey
+dxldy normale à l'origine un angle 0 différent de o et de
2
Nous
nous servirons encore ici des systèmes ,auxiliaires (x, y, z) (x, Y, Z) définis dans le numéro précédent et des formules
de transformation (7), qu'on peut, en éliminant Y, écrire x sin t.t.
y cos 0 cos pu
2
dl y'
ez
(Pz, x2
dx d y xY
Ty Y -1- dx2
4a2 sin'
5° Supposons enfin que faxe MZ du système fasse avec la
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d'z xy'
+
(11z x'
dy2 -2 m dx3 -6-
-F-
d'z y H-
dxdy2
e. ne renfermant que des. termes d'ordre supérieur au troi+ dz
sième. Les constantes -
peuvent s'évanouir ; nous dx admettrons qu'aucune. n'est infinie; dans ce cas, la surface est continue autour de l'origine, et possède un plan tangent ayant pour équation
dzdz
z =_- crx x, ciy. y.
z sin 0 cos p.,
X2
Si l'on fait coïncider l'axe 111z avec la normale à ce plan, et
En combinant ces équations avec l'équation de la surface en coordonnées (x, y, z) on obtiendra les paramètres différentiels
dx dx dy dy d z dz
la formule fondamend)' d v,' d),' dv. ' tale du n° 8 fournira ensuite l'expression suivante de de ,
da=
si, de plus, on oriente les deux autres axes de manière:à faire disparaître le rectangle xy, l'équation de la surface, abstraction faite des termes du quatrième ordre ou d'un ordre supérieur, prendra cette forme
= 2A
ax),
y (a z) sin I,. cos
(a cos O y sin 0) cos' p:
Dans cette équation, x, y, z sont des fonctions de )\ et de qu'il serait aisé de déterminer au moyen de l'équation, de la surface et des formules de transformation données plus
haut. Il suffit, du reste, de fkre alternativement 0 = o et
culiers.
Équation d'une surface en coordonnées planisphériques. L'équation d'une surface, en coordonnées (x, y, z), 12.
6
3D.ey-+ 3E;xy2
Fxya).
On passera du système ,(x, y, z) au système (),, z) au moyen des formules du'n° 6, et l'on obtiendra ainsi
z=
(8)
en posant _
cos'It
s1n9[1.
A
- pour retrouver les deux formules qu'on a obtenues tout à. heure en traitant dire.ctement ces deux.cas.parti-
- (GT'
2B
-6
(C cos31./ + 3D cos2p. sin p. + 3E cos_ p. sin'
F
La section normale dont l'orientation est [J. a pour rayon de courbure y. Lorsque les constantes A et B sont l'une et l'autre positives, y est toujours positif et compris entre A