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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
et B; si A et B ont des signes contraires, ces deux constantes expriment, en grandeur absolue, les deux valeurs maxima que y puisse prendre. C'est en raison de ces propriétés que les paramètres A et B sont appelés les rayons de courbure principaux de la surface ; et c'est pour les mêmes motifs qu'on désigne sous le nom de lignes de cour-
bure les lignes dont la courbure comparée à celle des autres sections normales est, en chaque point, un maximum ou un minimum. Recherchons maintenant la signification géométrique de la fonction On sait que les rayons de courbure Principaux sont liés
aux paramètres
dz
clz,
par une équation du second
d C
r
dz dz
(clz)21 cl2z y dx2
dx dy dxdy
On verrait de même que l'on a, toujours dans l'hypo-
thèse B
A,
dy
d D
dy
de là -
d!A
1
dc-F-
.------
[j+ (dx) d'z cl'z dx' -AT3 = [,_,_ (cLz_ (1,x)
+3
L
(cV1)
( d'z clxclyi ( dz'\21
\-iy)
dz dz
d2x,
afin de rentrer dxdy dans le système de coordonnées déterminé par les lignes de courbure et la normale, on aura
dl A
d
dx' dy
et
B
+ 7/x: =C +E d
A
1
di-B
d cos' 1.t sin p.+ 3
laY
(dz)21d2z
En différentiant chacune de ces équations par rapport à x, et en faisant ensuite évanouir
d 1--
A
i B
dx
cos IL
sin'
d -1
d
dz
d -1
= dx' E = dx
degré qui équivaut aux deux équations suivantes
[i
129
De ces équations on déduit, lorsque A est différent de B,
dy
.
Sur la sphère,
sin-
s'évanouit en même temps que les parai 1 d
mètres différentiels
dx
dB- d1 d1 dx
dy
dy
quelle que soit
l'orientation des sections normales Mx, My. D'autre part, la sphère est, comme on sait, la seule surface parmi celles, dont l'aire n'est pas nulle, pour laquelle, en chaque point, les rayons de courbure cJes diverses sections normales soient identiques. Il résulte de là que l'équation (8) est applicable à une surface continue quelconque, et qu'elle ne peut être en défaut que pour les ombilics, lorsqu'il en existe sur une surface, c'est-à-dire pour les points singuliers où les rayons de courbure principaux deviennent identique. 13. Élément superficiel d'une surface quelconque en coordonnées planisphériques. Reprenons l'équation
idzy C
E
dcr
_L_
(dz\' 715
z dz 2
z2 dXdp..
TOME V, 1874. 9