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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES..
1 3'2
tésimale S ne peut changer, si 1 est assez petit pour qu'on puisse confondre la section normale avec l'une des lignes géodésiques de la surface. Réciproquement, si le produit AB
On pourra, d'après cela, passer du système curvipolaire (1, [J. au système (x, y, z) au moyen des équations
x
G sin p.,
y
G cos J.,
dans lesquelles G est une fonction de 1 et de L'élément superficiel dcr se déduirait sans difficulté de la formule générale donnée au n° 8; mais il est plus simple de
prendre pour point de départ l'équation (9) relative aux coordonnées planisphériques. Par l'élimination de ), et de 0,, cette formule devient
da
[1
/9
6^('
2 dp. dp.
8
Y
Si l'on prend des arcs 1 égaux et très-petits sur chaque section normale, les points extrêmes de ces arcs déterminent sur la surface une courbe fermée dont l'aire S est donnée par l'équation (.2. da
J.
didp.
didp.
11 est facile de voir que les termes qui dépendent de de
et
s'évanouissent et que l'on a S
71'
1 53
rd' 12A13.
Cette équation, exacte jusqu'aux termes du cinquième ordre inclusivement, démontre un théorème très-remarquable dû à Gauss et qu'on peut énoncer ainsi : « Si une surface continue et inextensible vient à être déformée d'une manière arbitraire, le produit des rayons de courbure principaux en un point quelconque demeure invariable. » En effet, la surface étant, par hypothèse, inextensible, l'aire infini-
est identique en deux points in et NI' de deux surfaces, et si une telle correspondance a lieu dans toute l'étendue de ces surfaces, on peut évidemment les considérer comme étant applicables l'une sur l'autre. C'est, comme on voit, une extension de la notion des surfaces développables, c'està-dire applicables sur un plan. Surfaces .d'égale attraction. Il existe, dans la na-
ture, un très-grand nombre de forces dont l'intensité ne 'dépend que de la distance des points matériels entre lesquels elles s'exercent. Telle est la gravitation universelle, et telles paraissent être aussi les attractions moléculaires. On peut, à ce point de vue, désigner sous le nom de surfaces d'égale attraction les sphères concentriques dont l'équation commune est = const. ; l'attraction qu'un élément superficiel de l'une de ces sphères exerce sur le centre, ou subit -réciproquement de la part de celui-ci, est indépendante de la position particulière que l'élément occupe sur la surface. Dans l'étude des questions qui se rattachent aux actions moléculaires, les surfaces d'égale attraction jouent un rôle analogue à celui des surfaces isothermes dans la théorie de
la chaleur. Dans l'un et l'autre cas, il est, pour ainsi dire, indispensable d'introduire, comme variable indépendante, l'intensité i de la force dont on veut apprécier les effets, ou mieux un paramètre dont cette force dépende, suivant une loi connue ou inconnue; ce qui permet de découper l'espace en une infinité d'éléments au moyen de trois séries
de surfaces choisies de telle manière que, sur toute l'étendue des surfaces appartenant à l'une des trois séries, l'intensité demeure invariable. Lignes d'égale attraction; sur le plan; sur la sphère; sur le cylindre. Lorsqu'une série de surfaces d'égale at-