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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
traction rencontre une surface donnée, elle y détermine une série de lignes d'égale ,attraction. Sur le plan et sur la sphère, les lignes d'égale attraction consistent en une infinité de cercles ayant, dans le premier cas, pour centre commun, dans le second cas, pour pôle commun la projection du point attractif sur la surface ellemême.
Supposons qu'il s'agisse d'un cylindre à base circulaire, et plaçons le point attractif M sur la circonférence de la base. Si la distance est extrêmement petite par rapport
au diamètre D du cylindre,
il
est clair que la
ligne
const. différera très-peu d'un cercle tracé dans le plan
tangent; si, au contraire, le rapport
devient extrême-
ment grand, cette ligne se confondra sensiblement avec un cercle parallèle à la base. Entre ces deux cas extrêmes, les lignes d'égale attraction présentent une 'série de formes intermédiaires ; la plus remarquable de ces formes est celle qui correspond à la valeur particulière ),.=. ; il est facile de voir que les équations de cette courbe en coordonnées P., p., z) sont, en prenant pour axe Mz, la normale au cylindre = D, z = D cotanni..
Les équations qui expriment, dans deux systèmes planisphériques différents, l'élément superficiel du cylindre (no i 1), peuvent, en y remplaçant sa par D, s'écrire ainsi
da=
da 4.X2 sin2p.
D'
DdX4 D' sin2p. X'
La première équation donne, pour do-, des valeurs toujours réelles, quel que soit p., pouvu que -À soit compris entre o et D ; il en est de même de la .seconde, lorsque ), est su-
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périeur à D. Ainsi, la ligne d'égale attraction )\ D sépare, sur le cylindre, deux régions distinctes ; dans chacune de
ces régions, l'une ou l'autre des formules ci-dessus peut être employée avec sécurité ; l'angle p. doit d'ailleurs, si l'on veut embrasser successivement l'étendue de chaque région, varier entre les limites o et 7C.
17. Attraction d'une portion de surface sur un élément Sans aborder encore les de cette surface. Cas général. phénomènes capillaires proprement dits, nous demanderons aux formules qui viennent d'être établies la solution de quelques questions d'un ordre plus général, où nous introduirons des forces attractives d'une nature quelconque, variables avec la distance suivant une loi arbitraire. Ces forces pourraient d'ailleurs être répulsives sans qu'il en résultât aucun changement analytique essentiel. S'il s'agit de forces purement superficielles, c'est-à-dire échangées entre des éléments appartenant à des surfaces considérées comme des solides dont une dimension est censée s'évanouir, l'action exercée par un élément do-, sur un élément do-, s'exprimera par une fonction D N do-ido-,. S'il s'agit de forces échangées entre des éléments de volume, l'action d'un élément dU, sur un élément dU, sera FP,)dU,dU,. Nous laissons de côté les actions qui n'intéresseraient que des éléments linéaires (courants électriques, etc.). Recherchons, en premier lieu, la résultante des attractions exercées par une portion de surface sur un élément M,
en lin-litant cette portion de surface par une sphère d'un rayon ), ayant le point M pour centre. Si l'on attribue à l'élément M une étendue égale à l'unité, chaque élément superficiel do. donnera lieu à une force Dp,)do-, qui pourra être décomposée en trois autres, parallèles aux trois directions Mx, My, Mr et ayant respec-
tivement pour valeurs : [IN
111.
À
do-.