Annales des Mines (1874, série 7, volume 5) [Image 78]

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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.

Si D est le diamètre de la sphère, on obtiendra, en rem-

Nous abrégerons les notations en introduisant ici la fonction F(n), qui généralement désigne l'intégrale eulérienne

plaçant z par ri et en intégrant ensuite par rapport à p.,

= 2D7

e-x dx et se réduit au produit 1.2.3.... (n i)

0

ri (X) XVX.

S

lorsque n est entier et posisitif, et à l'unité lorsque n =r ; nous aurons ainsi

19. Cas du cylindre. S'il s'agit d'un cylindre de rayon a, l'ordonnée normale z sera donnée, en fonction de ), et de p., par l'équation

V

2,1":(22rn,(1-n 3)2)

sin,n1,cos,,,,,p,

(?:_ct)

Cela posé, de la formule bien connue

).2sin"

z

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" 2-'

sin2p.

La résultante est encore ici normale à la surface et s'exprime ainsi qu'il suit, en supposant ),,< 2 a,

= COS 2n p. ± 2n cos (an

(1.

an (an i)

cos2n 4)

1.2

1

...

2) p. +

an (an 1)...(n+ i)

2 1. 2

on déduit (+2,

a'

(X)

R=a

C21Z

?,=si,n2& cos'p.

sin

J.

r (2n -I- 1)

=

r2 (n

1)

et, par suite,

a'

^27.

a'

sin2p.

i

.

\I"

).9;sin9pcos2

a'p.

ce qui donne

27,

o

sin"apdp =

.17 P (an + 1)

2" P'(n-E

En conséquence, la résultante 11 s'exprimera de la manière suivante

),"sin'p.cos`p. 1

1

i,27C

0

Pour effectuer l'intégration par rapport à i, nous développerons tout d'abord, suivant les puissances croissantes de r, la fonction

V=

cos"

R=

Ai.=do

2n+

(2n + 1)

1

F4(n-1-1) 26-Na2"+'

II (X) el-F-2(1X.

20. Action réciproque de deux portions (l'une surface cy-

V=

=

sin

tJ 1

3

2

2

1.2

I;

lindrique séparées par un plan normal à l'axe. Considérons deux portions d'une surface cylindrique S, et S séparées par un plan P perpendiculaire à l'axe du cylindre,

1

2n

1

2

x

sidnn.ecos'"p. (-\ n

a)

.

et supposons que les éléments de ces deux portions de surface s'attirent mutuellement. Si on limite les surfaces

S