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DE MÉCANIQUE.
SOLUTION DE DIVERS PROBLÈMES
258
On suppose que, pour x= o, on ait
y=.rFr cos tot,
r COS Wi.
et que, pour x=1, on ait
y=r
et
2
dans ces circonstances, le milieu de la corde reste en repos pendant tout le mouvement.
,,
.
/) sin
WX
cos wt sin
0
sin
W
20,
PX
Le principe du deuxième procédé que j'ai appliqué est de ramener la question au cas où les conditions imposées aux extrémités des corps ' sont invariables, an lieu d'être des fonctions du .temps, problème que l'on résout ensuite par les méthodes ordinaires. Il suppose seulement que les fonctions dont il s'agit sont d'une ceaaine forme, mais qui se trouve être précisément celle que l'on rencontre le plus ordinairement dans les applications. Soit d'abord l'équation déjà examinée dans le premier chapitre, et' qui est le type de l'équation des cordes vibrantes ou des mouvements longitudinaux des tiges,
20
il 1 <01x <11. y .,---- 2r
,
sin0,0 sin.W2a (2at 20 .
sin
Troisième cas il
<x 21 <et
w
20
(2x-1)
20
at <
1,
x < il l.
011 a
(140)
d'u
(
cos --
-
CIIAPITRE IL
wl
Deuxième cas
(159)
Par une raison semblable, le milieu du fil répond toujours à l'équation (139). Or, si l'on fait x =k dans cette
il <atx<il+1. cos9.02/Tt 211
On a
r r COS Wt.
formule, on a y =o, quel que soit t, ce qui montre que,
CIO,
y=P-1 2'
y
il<x+at<i1-1-1
On a alors {138)
De même, l'extrémité de la corde répond toujours à l'équation (14o). Or, si l'on y fait x =I, on a, comme cela devait être,
r cos Wt.
Alors les deux extrémités du III ont à chaque instant un mouvement inverse. Voici quels sont les résuhats auxquels on parvient. Il y a trois cas. Premier cas
259
L'origine de la corde qui répond à x correspond toujours à l'équation (158). Et en effet, si l'on fait, dans. cette dernière formule, x =o, on a
2i1 + 1) sin - (1
x)-F cos wt sin
2
r sin
oà I
20
20,
(2x
Je fais'
dt=
u
(2)
TOME X, 1866.'
dx2