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SUR L'T&ÀLITI pEs POLY1ZDRES.
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4°. Les mêmes choses étant posées que dans
le théorème précédent, le nombre des séries &tri 'égalité des polyèdres composés ,,cles mêmes
faces semblablement disposées.; Par M. CAUCiTY Ingénieur des Ponts-et-Chaussées.
L'AuTun commence par établir, sur les po1-ygones convexes rectilignes et sphériques, les théorèmes suivons e. Si ,.dans un polygone con.veXe rectiligne ou sphérique, dont tous les côtés à l'exception d'un seul, sont supposés invariables , on
fait croître ou décroître simultanément les
angles compris entre les côtés. invariables, le côté variable croîtra dan 's le premier cas, et décroîtra dans le second. 2°. Si, dans un polygone Convexe rectiligne ou sphérique, dont :les "'d'ôtés sont invariables, -on fait croître les angles, ceux-ci ne pourront
tous varier dans le même sens, soit en plus,
soit en moins. 3°. Si, dans un polygone convexe rectiligne ou sphérique, dont les Côtés sont invariables, on fait varier tous les angles, et que, passant ensuite en revue ces mêmes angles, on les classe ,en différentes séries , en plaçant clans une .même 'série tous les angles qui, pris consécutivement, varient dans le même sens;
sera toujours au moins égal à quatre. 50. Les mêmes-choses étant posées que 'dans «les deux théorèmes- précédens , trouvera
toujours dans le polygone au moins quatre côtés, dont chacun sera adjacent à deux angles, qui varieront en sens contraire.
Un angle solide quelconque, pouvant être représenté par le polygone sphérique que l'on _obtient en coupantcetangle solide par une sphère
décrite de .son sommet comme centre avec un rayon arbitraire, on voit qu'il suffit de substituer dans les théorèmes précédens les noms d'angles solides , d'angles plans et d'inclinaisons sur les arêtes, à ceux de polygones sphériques de côtés et d'angles, pour obtenir autant .de théorèmes sur les angles solides. Le dernier peut s'énoncer de la manière suivante., 6°. Si, dans un angle solide dont les angles plans sont invariables , on fait varier les inclinaisons sur les différentes arêtes, on. trouvera toujours -au mbinsquatre angles, plans, dont chacun sera compris entre deu2L; arêtes, sur lesquelles les incliniaisOns varieront en sens contraire.
en plus, seront toujours en même nombre que les séries composées d'angles qui varieront en
l'aide de Cè dernier théorème-et de celui d'Euler,, M. Cauchy démontre comme il suit, la. préposition d'Euclide , qu'il énonce ainsi 'Dans un polyèdre con.V,,exe , dont toutes les faces sont invariables les angles compris entre lés faCeS',' 'ou', ce qui.:reVient au même , les
moins; et par suite le nombre total des séries sera
inclinaiSons sin- les différentes arêtes sont aussi
les séries composées d'angles qui varieront pair.
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invariables; en sorte qu'avec les mêmes. faces