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SUR L'G.ALIT&
on ne peut construire qu'un second polyèdre convexe symétrique du premier. De'monstration. En effet, supposons, contre l'énoncé ci-dessus, que l'on puisse faire varier les inclinaisons des faces adjacentes sans détruire le polyèdre ; et, pour simplifier encore la question, supposons d'abord que l'on puisse faire varier toutes les inclinaisons à la fois, les inclinaisons sur certaines arêtes varieront en plus, les inclinaisons sur d'autres arêtes varieront en moins ; et, parmi les angles plans qui composent les faces et les angles solides du polyèdre, il s'en trouvera nécessairemen t plusieurs
qui seront compris chacun entre deux arêtes,
sur lesquelles les inclinaisons varieront en sens contraire. C'est le nombre de ces angles plans qu'il s'agit de déterminer. Soient S le nombre des angles solides du po-
lyèdre,
Hie nombre de ses faces, A le nombre de ses arêtes. On
par le théorème d'Euler S H =
A +2, aura' ouA H 8 -- 2.
Soient de plus, a le nombre des triangles,
b le nombre des quadrilatères, c celui des pen-
tagones, d celui des hexagones, e celui des heptagones, etc.... , qui composent la surface du polyèdre. On aura :
11=a+b+c+d+ e+,etc. 2A 7_-_-3a4-4b-E5c+ 6d+ 7e +, etc.
etparsuite, 4(AH)=2a-f-4b-1-6c1-8d+ ioe+,etc....
Cela posé, si l'on considère les angles plans compris dans la surface du polyèdre, comme
DES POLIqUIIIES.
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formant par leur réunion les angles solides, on trouvera que chacun des angles solides, eu vertu du théorème 6, doit fournir au moins
quatre angles plans, dont chacun soit compris entre deux arêtes, sur lesquelles les inclinaisons varient en sens contraire. La surfacé totale du polyèdre devra donc fournir un nombre d'angles plans de cette espèce au moins égal à 48. Reste à savoir si cela est possible. Or, si l'on considère les angles plans comme composant les faces du polyèdre, on trouvera que les faces triangulaires, contenant toujours au moins deux arêtes, sur lesquelles les variations d'inclinaison sont de même signe, fourniront au plus chacun deux angles plans qui satisferont à la condition donnée. Les quadrilatères pourront fournir chacun quatre de ces angles plans ; mais les pentagones, se trouvant dans le même cas que les triangles, n'en fourniront chacun que quatre au plus, comme les quadrilatères. En continuant de même, on ferait voir que les hexagones et les heptagones ne pourront fournir chacun plus de six angles plans de cette espèce ; que les octogones et les ennéagones n'en pourront fournir chacun plus de huit, et ainsi de suite. 11 suit de hi que toutes les faces du polyèdre réunies ne pourront fournir ensemble plus de ces angles plans, qu'il n'y a d'unités dans la somme faite de trois fois le nombre des triangles, de quatre fois celui des quadrilatères, de quatre fois celui des pentagones, de six fois celui des hexagones, etc...., ou dans 2a ± 4b + 4c + ed
6e +, etc....
Mais si l'on compare ce résultat à la valeur